Questão 61 (CESGRANRIO / BB - 2015). Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no investimento. A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? Dado: \sqrt{76}=8,7.

Passo 1

O enunciado dá um investimento inicial de \,50{,}000 reais no regime de juros compostos com taxa semestral desconhecida \,i. Após seis meses foi resgatado \,20{,}000, deixando o restante aplicado. Após um ano (ou seja, mais seis meses), foi resgatado \,36{,}000, zerando o investimento. O que se pede: determinar a taxa semestral \,i. Dados fornecidos: \sqrt{76}=8{,}7.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Investimento inicial: \,50{,}000.
  • Resgate aos 6 meses: \,20{,}000.
  • Resgate aos 12 meses (final): \,36{,}000.
  • Regime: juros compostos semestrais com taxa \,i por semestre.
  • Objetivo: encontrar \,i (taxa semestral).

Passo 2

Vamos traduzir as operações financeiras em expressões matemáticas usando a fórmula básica de juros compostos.
A regra de juros compostos diz que, se você aplica um capital \,P por n períodos à taxa por período \,i, o montante após n períodos é
P(1+i)^n,
onde:
  • \,P é o capital inicial,
  • \,i é a taxa por período (aqui, semestre),
  • \,n é o número de períodos.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Após 1 semestre (6 meses) o montante de \,50{,}000 vira \,50{,}000(1+i).
  • Então ocorre um resgate de \,20{,}000, ficando aplicado
50{,}000(1+i)-20{,}000.

Passo 3

Esse saldo remanescente é aplicado por mais 1 semestre. Assim, ao fim de 1 ano (2 semestres) o montante resultante antes do último resgate é
\big(50{,}000(1+i)-20{,}000\big)(1+i)=50{,}000(1+i)^2-20{,}000(1+i).
Em seguida foi resgatado \,36{,}000 e o saldo final ficou zero. Portanto montante antes do resgate menos o resgate é zero, o que gera a equação
50{,}000(1+i)^2-20{,}000(1+i)-36{,}000=0.

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por \,1{,}000 para facilitar os cálculos:
50(1+i)^2-20(1+i)-36=0.
Agora fazemos a substituição auxiliar \,x=1+i. Assim a equação quadrática fica
50x^2-20x-36=0.
Podemos também dividir por \,2 para simplificar:
25x^2-10x-18=0.

Passo 5

Para resolver a equação quadrática \,25x^2-10x-18=0 usamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
onde, no nosso caso, \,a=25, \,b=-10, \,c=-18. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot25\cdot(-18)=100+1800=1900.
Observação importante: \,1900=25\cdot76, logo \sqrt{1900}=5\sqrt{76}. O enunciado nos deu \sqrt{76}=8{,}7, portanto
\sqrt{1900}=5\cdot8{,}7=43{,}5.

Passo 6

Aplicando Bhaskara com \sqrt{\Delta}=43{,}5:
x=\frac{10\pm 43{,}5}{50}.
Calculamos as duas raízes:
  • Com o sinal positivo:
x=\frac{10+43{,}5}{50}=\frac{53{,}5}{50}=1{,}07.
  • Com o sinal negativo:
x=\frac{10-43{,}5}{50}=\frac{-33{,}5}{50}=-0{,}67\ldots
Essa segunda raiz dá x<0, impossível no contexto (pois x=1+i e deve ser positivo). Portanto tomamos x=1{,}07.

Passo 7

Voltando à definição \,x=1+i, temos
1+i=1{,}07 \quad\Rightarrow\quad i=1{,}07-1=0{,}07.
Convertendo para porcentagem:
i=0{,}07=7\%.
Interpretação: a taxa semestral que torna consistentes os resgates informados é de \,7\% por semestre.

Resposta

\,7\%

Exercícios relacionados