Questão 61 (CESGRANRIO / BB - 2015). Um cliente fez um investimento de 50 mil reais em um Banco, no regime de juros compostos. Após seis meses, ele resgatou 20 mil reais, deixando o restante aplicado. Após um ano do início da operação, resgatou 36 mil reais, zerando sua posição no investimento. A taxa semestral de juros proporcionada por esse investimento pertence a que intervalo abaixo? Dado:
.
Passo 1
O enunciado dá um investimento inicial de
reais no regime de juros compostos com taxa semestral desconhecida
. Após seis meses foi resgatado
, deixando o restante aplicado. Após um ano (ou seja, mais seis meses), foi resgatado
, zerando o investimento. O que se pede: determinar a taxa semestral
. Dados fornecidos:
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Investimento inicial:
. - Resgate aos 6 meses:
. - Resgate aos 12 meses (final):
. - Regime: juros compostos semestrais com taxa
por semestre. - Objetivo: encontrar
(taxa semestral).
Passo 2
Vamos traduzir as operações financeiras em expressões matemáticas usando a fórmula básica de juros compostos.
A regra de juros compostos diz que, se você aplica um capital
por
períodos à taxa por período
, o montante após
períodos é
onde:
-
é o capital inicial, -
é a taxa por período (aqui, semestre), -
é o número de períodos.
Aplicando isso ao nosso caso:
- Após 1 semestre (6 meses) o montante de
vira . - Então ocorre um resgate de
, ficando aplicado
Passo 3
Esse saldo remanescente é aplicado por mais 1 semestre. Assim, ao fim de 1 ano (2 semestres) o montante resultante antes do último resgate é
Em seguida foi resgatado
e o saldo final ficou zero. Portanto montante antes do resgate menos o resgate é zero, o que gera a equação
Passo 4
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
para facilitar os cálculos:
Agora fazemos a substituição auxiliar
. Assim a equação quadrática fica
Podemos também dividir por
para simplificar:
Passo 5
Para resolver a equação quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara:
onde, no nosso caso,
,
,
. Calculamos o discriminante:
Observação importante:
, logo
. O enunciado nos deu
, portanto
Passo 6
Aplicando Bhaskara com
:
Calculamos as duas raízes:
- Com o sinal positivo:
- Com o sinal negativo:
Essa segunda raiz dá
, impossível no contexto (pois
e deve ser positivo). Portanto tomamos
.
Passo 7
Voltando à definição
, temos
Convertendo para porcentagem:
Interpretação: a taxa semestral que torna consistentes os resgates informados é de
por semestre.