Questão 57: (a) Mostre que a potência desenvolvida por um aeroplano que se move na horizontal com velocidade v é proporcional a v { }^{3}. Suponha que a força de arrasto aerodinâmico é dada pela Eq. 6-18. (b) Por que fator deve ser multiplicada a potência dos motores do avião para que sua velocidade aumente 50 \% ?

Passo 1

O enunciado pede:
(a) mostrar que a potência desenvolvida por um avião em voo horizontal a velocidade v é proporcional a v^{3}, supondo que a força de arrasto aerodinâmico seja dada pela Eq. 6-18;
(b) determinar por que fator a potência dos motores deve ser multiplicada para que a velocidade aumente em 50\%.
O conteúdo envolve potência mecânica e arrasto aerodinâmico.

Passo 2

A força de arrasto aerodinâmico, segundo a Eq. 6-18, vale
F_{d} = \tfrac{1}{2}\,\rho\,C_{D}\,A\,v^{2},
onde \rho é a densidade do ar, C_{D} o coeficiente de arrasto e A a área frontal do avião.

Passo 3

A potência P para vencer o arrasto é o produto da força resistente pela velocidade. Assim,
P = F_{d}\cdot v.
Substituindo F_{d} da Eq. 6-18, obtemos
P = \Bigl(\tfrac{1}{2}\,\rho\,C_{D}\,A\,v^{2}\Bigr)\,v = \tfrac{1}{2}\,\rho\,C_{D}\,A\,v^{3}.

Passo 4

Do resultado acima segue que
P \propto v^{3},
isto é, a potência cresce como o cubo da velocidade.

Passo 5

Para aumentar a velocidade em 50\%, definimos
v_{2} = 1{,}5\,v_{1}.
Como P\propto v^{3}, a razão entre potências é
\frac{P_{2}}{P_{1}} = \Bigl(\frac{v_{2}}{v_{1}}\Bigr)^{3} = (1{,}5)^{3} = 3{,}375.

Resposta

O fator é 3{,}375.

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