Questão 73: Um bloco está subindo uma rampa de 40^{\circ}. Num ponto a 0,5 \mathrm{~m} do início da rampa, possui uma velocidade de 1,3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco e a rampa é 0,15 . (a) Qual a distância adicional percorrida pelo bloco até parar? (b) Qual a velocidade do bloco ao chegar de volta à base da rampa?

Passo 1

O enunciado descreve um bloco que sobe uma rampa inclinada de 40^\circ com coeficiente de atrito dinâmico \mu=0,15. Num ponto a 0{,}5 m da base ele tem velocidade inicial v_0=1{,}3 m/s.
(a) queremos a distância adicional s que ele percorre até parar;
(b) queremos a velocidade v com que ele volta à base.
Para isso vamos usar MRUV com aceleração constante, cuja componente resultante ao subir é
a_{\rm up}=-g\bigl(\sin\theta+\mu\cos\theta\bigr)
e ao descer é
a_{\rm down}=g\bigl(\sin\theta-\mu\cos\theta\bigr).

Passo 2

Calcular a desaceleração \displaystyle a_{\rm up}. Substituindo g=9{,}81 m/ s^{2}, \sin40^\circ\approx0,6428, \cos40^\circ\approx0,7660 e \mu=0,15:
a_{\rm up} =-9{,}81\bigl(0,6428+0,15\cdot0,7660\bigr) =-9{,}81\,(0,6428+0,1149) =-9{,}81\times0,7577 \approx-7{,}43\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Usar a equação de MRUV para achar a distância adicional s até v=0:
v^2=v_0^2+2\,a_{\rm up}\,s \quad\Longrightarrow\quad 0=1{,}3^2+2(-7{,}43)\,s
s=\frac{1{,}3^2}{2\times7{,}43} =\frac{1{,}69}{14{,}86} \approx0{,}114\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar a aceleração na descida
a_{\rm down} =9{,}81\bigl(0,6428-0,15\cdot0,7660\bigr) =9{,}81\,(0,6428-0,1149) =9{,}81\times0,5279 \approx5{,}18\\ \mathrm{m/s^2}.
A partir do repouso no ponto mais alto, o bloco percorre a distância total desde a base até o ponto de parada, que é
s_{\rm total}=0{,}5+0{,}114=0{,}614\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade v ao chegar à base usando
v^2=0^2+2\,a_{\rm down}\,s_{\rm total} =2\times5{,}18\times0{,}614 \approx6{,}36
v=\sqrt{6{,}36}\approx2{,}52\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 0{,}114 m
(b) 2{,}52 m/s

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