Questão 57 Sejam W_{1}, W_{2} subespaços vetoriais distintos de um espaço vetorial V de dimensão finita tais que \operatorname{dim} V=n, \operatorname{dim} W_{1}=\operatorname{dim} W_{2}=n-1.
Mostre que \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=n-2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única conclusão.
  • Informações dadas:
    • \dim V = n.
    • W_{1} e W_{2} são subespaços de V.
    • W_{1} e W_{2} são distintos (ou seja, W_{1}\neq W_{2}).
    • \dim W_{1} = \dim W_{2} = n-1.
  • O que se pede:
    • Mostrar que \dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)=n-2.

Passo 2

Apresento uma ferramenta que vamos usar: a fórmula da dimensão para a soma de subespaços. Se A e B são subespaços de um espaço vetorial, então vale
\dim(A+B)=\dim A+\dim B-\dim(A\cap B).
Explicação (rápida e didática) de por que isso é verdade: escolha uma base \mathcal{B}_0 de A\cap B. Estenda \mathcal{B}_0 a uma base \mathcal{B}_A de A adicionando vetores que completam a dimensão de A. Faça o mesmo para obter \mathcal{B}_B, base de B. Então os vetores de \mathcal{B}_A\cup\mathcal{B}_B geram A+B, e a contagem dá exatamente a fórmula acima porque os vetores de \mathcal{B}_0 foram contados duas vezes em \mathcal{B}_A\cup\mathcal{B}_B. Essa é uma razãoalização prática que você pode usar na prova.

Passo 3

Mostro agora que W_{1}+W_{2}=V (ou seja, a soma dos dois subespaços é todo V). Raciocínio passo a passo:
  • Como W_{1}\neq W_{2} e ambos têm dimensão n-1, existe um vetor v\in W_{2} que não pertence a W_{1}. Se todo vetor de W_{2} estivesse em W_{1}, então W_{2}\subseteq W_{1} e, por terem a mesma dimensão, isso implicaria W_{2}=W_{1}, contradizendo a hipótese de serem distintos. Logo escolhemos v\in W_{2}\setminus W_{1}.
  • Tome uma base de W_{1}. Como \dim W_{1}=n-1, essa base tem n-1 vetores, digamos \{u_{1},\dots,u_{n-1}\}.
  • Quero mostrar que \{u_{1},\dots,u_{n-1},v\} é um conjunto linearmente independente em V. Suponha uma combinação linear
    \alpha_{1}u_{1}+\cdots+\alpha_{n-1}u_{n-1}+\beta v=0.
    Se \beta=0, então os \alpha_{i} são todos zero porque \{u_{1},\dots,u_{n-1}\} é base de W_{1}. Se \beta\neq 0, então isolando v obtemos
    v = -\frac{1}{\beta}(\alpha_{1}u_{1}+\cdots+\alpha_{n-1}u_{n-1}),
    o que mostraria v\in W_{1}, contradizendo a escolha de v. Portanto \beta=0 e todos os \alpha_{i}=0: o conjunto é linearmente independente.
  • Logo \{u_{1},\dots,u_{n-1},v\} tem n vetores linearmente independentes em V. Como \dim V = n, esse conjunto é uma base de V. Assim a subespaço gerado por W_{1} e v é todo V. Mas v\in W_{2}, então W_{1}+W_{2} contém W_{1}+\operatorname{span}\{v\}=V. Como W_{1}+W_{2}\subseteq V sempre, concluímos
    W_{1}+W_{2}=V.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da dimensão (Passo 2) aos subespaços W_{1} e W_{2}. Sabemos:
\dim(W_{1}+W_{2})=\dim V=n,
e
\dim W_{1}=\dim W_{2}=n-1.
Pela fórmula,
\dim(W_{1}+W_{2})=\dim W_{1}+\dim W_{2}-\dim(W_{1}\cap W_{2}).
Substituindo os valores:
n=(n-1)+(n-1)-\dim(W_{1}\cap W_{2}).

Passo 5

Resolvo a equação obtida no passo anterior para \dim(W_{1}\cap W_{2}):
n=2n-2-\dim(W_{1}\cap W_{2})
\dim(W_{1}\cap W_{2})=2n-2-n=n-2.
Portanto \dim(W_{1}\cap W_{2})=n-2, que é exatamente o que se pedia.

Passo 6

Intuição geométrica (para te animar): em \mathbb{R}^{3} (caso n=3), subespaços de dimensão 2 passam pela origem e são planos; dois planos distintos passando pela origem se interceptam numa reta, que tem dimensão 1, e 1=3-2. A conta que fizemos é a versão abstrata dessa ideia para dimensão geral.

Resposta

\,n-2\,

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