Questão 57 Sejam
subespaços vetoriais distintos de um espaço vetorial
de dimensão finita tais que
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única conclusão.
-
Informações dadas:
-
. -
e são subespaços de . -
e são distintos (ou seja, ). -
.
-
-
O que se pede:
- Mostrar que
.
- Mostrar que
Passo 2
Apresento uma ferramenta que vamos usar: a fórmula da dimensão para a soma de subespaços. Se
e
são subespaços de um espaço vetorial, então vale
Explicação (rápida e didática) de por que isso é verdade: escolha uma base
de
. Estenda
a uma base
de
adicionando vetores que completam a dimensão de
. Faça o mesmo para obter
, base de
. Então os vetores de
geram
, e a contagem dá exatamente a fórmula acima porque os vetores de
foram contados duas vezes em
. Essa é uma razãoalização prática que você pode usar na prova.
Passo 3
Mostro agora que
(ou seja, a soma dos dois subespaços é todo
). Raciocínio passo a passo:
-
Como
e ambos têm dimensão , existe um vetor que não pertence a . Se todo vetor de estivesse em , então e, por terem a mesma dimensão, isso implicaria , contradizendo a hipótese de serem distintos. Logo escolhemos . -
Tome uma base de
. Como , essa base tem vetores, digamos . -
Quero mostrar que
é um conjunto linearmente independente em . Suponha uma combinação linear Se, então os são todos zero porque é base de . Se , então isolando obtemos o que mostraria, contradizendo a escolha de . Portanto e todos os : o conjunto é linearmente independente. -
Logo
tem vetores linearmente independentes em . Como , esse conjunto é uma base de . Assim a subespaço gerado por e é todo . Mas , então contém . Como sempre, concluímos
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da dimensão (Passo 2) aos subespaços
e
. Sabemos:
e
Pela fórmula,
Substituindo os valores:
Passo 5
Resolvo a equação obtida no passo anterior para
:
Portanto
, que é exatamente o que se pedia.
Passo 6
Intuição geométrica (para te animar): em
(caso
), subespaços de dimensão
passam pela origem e são planos; dois planos distintos passando pela origem se interceptam numa reta, que tem dimensão
, e
. A conta que fizemos é a versão abstrata dessa ideia para dimensão geral.