Sejam
, subespaços vetoriais de
. Determine uma base
a dimensão dos seguintes subespaços:
.
Passo 1
O enunciado dá os subespaços
e
e pede uma base e a dimensão de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A condição que define
é . - A condição que define
é . - A pergunta é: determinar uma base de
e a dimensão de .
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a equação que define
. Da equação
passamos todos os termos para um lado:
Agrupando,
Multiplicando por
obtemos
Portanto a condição que define
é exatamente
.
Passo 3
Como vimos,
e
são definidos pela mesma equação
. Logo
Uma propriedade simples de subespaços vetoriais é: se
é um subespaço, então
. Aplicando aqui,
Assim basta encontrar uma base e a dimensão de
.
Passo 4
Vamos escrever um vetor genérico de
usando parâmetros. A equação é
Isolamos uma variável (por exemplo
):
Tomamos
e
como parâmetros livres. Seja
e
. Então um vetor genérico
pode ser escrito como
Passo 5
Agora separamos em combinação linear dos parâmetros:
Isto mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
. Portanto estes vetores geram
.
Passo 6
Verificamos que cada um dos vetores geradores realmente pertence a
:
- Para
: . - Para
: .
Portanto ambos satisfazem a equação e estão em.
Passo 7
Mostramos que os vetores
e
são linearmente independentes. Suponha
Das componentes obtemos o sistema
Da primeira equação
; então da segunda segue
. Logo
é a única solução, provando a independência linear.
Passo 8
Como os vetores
e
geram
e são linearmente independentes, são uma base de
. Como
, essa mesma base vale para
. O número de vetores da base é
, então a dimensão é
.