Sejam W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=4 x-z\right\} e W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-y-z=0\right\}, subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3}. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
W_{1}+W_{2}.

Passo 1

O enunciado dá os subespaços
W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;:\;x+y=4x-z\}
e
W_{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\;:\;3x-y-z=0\},
e pede uma base e a dimensão de W_{1}+W_{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A condição que define W_{1} é x+y=4x-z.
  • A condição que define W_{2} é 3x-y-z=0.
  • A pergunta é: determinar uma base de W_{1}+W_{2} e a dimensão de W_{1}+W_{2}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a equação que define W_{1}. Da equação
x+y=4x-z
passamos todos os termos para um lado:
x + y - 4x + z = 0.
Agrupando,
-3x + y + z = 0.
Multiplicando por -1 obtemos
3x - y - z = 0.
Portanto a condição que define W_{1} é exatamente \;3x - y - z = 0.

Passo 3

Como vimos, W_{1} e W_{2} são definidos pela mesma equação \;3x - y - z = 0. Logo
W_{1}=W_{2}.
Uma propriedade simples de subespaços vetoriais é: se U é um subespaço, então U+U=U. Aplicando aqui,
W_{1}+W_{2}=W_{1}+W_{1}=W_{1}.
Assim basta encontrar uma base e a dimensão de W_{1}.

Passo 4

Vamos escrever um vetor genérico de W_{1} usando parâmetros. A equação é
3x - y - z = 0.
Isolamos uma variável (por exemplo y):
y = 3x - z.
Tomamos x e z como parâmetros livres. Seja s=x e t=z. Então um vetor genérico (x,y,z)\in W_{1} pode ser escrito como
(x,y,z) = (s,\,3s-t,\,t).

Passo 5

Agora separamos em combinação linear dos parâmetros:
(s,\,3s-t,\,t) = s\,(1,3,0) + t\,(0,-1,1).
Isto mostra que todo vetor de W_{1} é combinação linear dos vetores (1,3,0) e (0,-1,1). Portanto estes vetores geram W_{1}.

Passo 6

Verificamos que cada um dos vetores geradores realmente pertence a W_{1}:
  • Para (1,3,0): 3\cdot 1 - 3 - 0 = 0.
  • Para (0,-1,1): 3\cdot 0 - (-1) - 1 = 0.
    Portanto ambos satisfazem a equação e estão em W_{1}.

Passo 7

Mostramos que os vetores (1,3,0) e (0,-1,1) são linearmente independentes. Suponha
\alpha(1,3,0)+\beta(0,-1,1)=(0,0,0).
Das componentes obtemos o sistema
\alpha = 0,
3\alpha - \beta = 0,
\beta = 0.
Da primeira equação \alpha=0; então da segunda segue \beta=0. Logo \alpha=\beta=0 é a única solução, provando a independência linear.

Passo 8

Como os vetores (1,3,0) e (0,-1,1) geram W_{1} e são linearmente independentes, são uma base de W_{1}. Como W_{1}+W_{2}=W_{1}, essa mesma base vale para W_{1}+W_{2}. O número de vetores da base é 2, então a dimensão é 2.

Resposta

\text{Uma base de }W_{1}+W_{2}\text{ é }\{(1,3,0),(0,-1,1)\}é
\dim(W_{1}+W_{2})=2

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