Sejam
, subespaços vetoriais de
. Determine uma base
a dimensão dos seguintes subespaços:
Passo 1
O enunciado fornece o subespaço
e pede para determinar uma base de
e a dimensão de
. As informações relevantes são: temos um único vínculo linear homogêneo entre
(a igualdade acima) e queremos descrever o conjunto de todas as tuplas
que satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a equação dada para colocá‑la numa forma linear mais simples. Partimos de
Subtraindo
de ambos os lados e somando
se necessário, obtemos
ou seja
Podemos multiplicar por
para uma forma equivalente:
Passo 3
Essa equação linear homogênea em
descreve um plano passando pela origem em
. Para encontrar uma base do plano, é prático parametrizar as soluções escolhendo variáveis livres. A equação atual é
que podemos reescrever isolando
:
Passo 4
Escolhemos parâmetros livres para as variáveis
e
. Defina
onde
. Então
Logo um vetor genérico de
é
Passo 5
Agora escrevemos essa expressão como combinação linear de dois vetores (separando os coeficientes
e
):
Isto mostra que todo vetor de
está no subespaço gerado por
, ou seja
Passo 6
Devemos verificar que os vetores
e
são linearmente independentes, para que realmente formem uma base. Suponha que existam escalares
tais que
Isso dá o sistema (coordenada a coordenada):
Da primeira equação
. Da terceira obtemos
. Assim
é a única solução, portanto os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Como
gera
e seus vetores são linearmente independentes, esse conjunto é uma base de
. Como a base tem dois vetores, a dimensão de
é
.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: