Sejam W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+y=4 x-z\right\} e W_{2}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 3 x-y-z=0\right\}, subespaços vetoriais de \mathbb{R}^{3}. Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços:
W_{1}

Passo 1

O enunciado fornece o subespaço
W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \; ;\; x+y=4x-z\}
e pede para determinar uma base de W_{1} e a dimensão de W_{1}. As informações relevantes são: temos um único vínculo linear homogêneo entre x,y,z (a igualdade acima) e queremos descrever o conjunto de todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a equação dada para colocá‑la numa forma linear mais simples. Partimos de
x+y=4x-z.
Subtraindo 4x de ambos os lados e somando -y se necessário, obtemos
x+y-4x+z=0,
ou seja
-3x+y+z=0.
Podemos multiplicar por -1 para uma forma equivalente:
3x-y-z=0.

Passo 3

Essa equação linear homogênea em x,y,z descreve um plano passando pela origem em \mathbb{R}^3. Para encontrar uma base do plano, é prático parametrizar as soluções escolhendo variáveis livres. A equação atual é
-3x+y+z=0,
que podemos reescrever isolando y:
y=3x-z.

Passo 4

Escolhemos parâmetros livres para as variáveis x e z. Defina
x=s,\qquad z=t,
onde s,t\in\mathbb{R}. Então
y=3s-t.
Logo um vetor genérico de W_{1} é
(x,y,z)=(s,\,3s-t,\,t).

Passo 5

Agora escrevemos essa expressão como combinação linear de dois vetores (separando os coeficientes s e t):
(s,\,3s-t,\,t)=s(1,3,0)+t(0,-1,1).
Isto mostra que todo vetor de W_{1} está no subespaço gerado por \{(1,3,0),(0,-1,1)\}, ou seja
W_{1}=\operatorname{span}\{(1,3,0),(0,-1,1)\}.

Passo 6

Devemos verificar que os vetores (1,3,0) e (0,-1,1) são linearmente independentes, para que realmente formem uma base. Suponha que existam escalares a,b tais que
a(1,3,0)+b(0,-1,1)=(0,0,0).
Isso dá o sistema (coordenada a coordenada):
a=0,\qquad 3a-b=0,\qquad b=0.
Da primeira equação a=0. Da terceira obtemos b=0. Assim a=b=0 é a única solução, portanto os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Como \{(1,3,0),(0,-1,1)\} gera W_{1} e seus vetores são linearmente independentes, esse conjunto é uma base de W_{1}. Como a base tem dois vetores, a dimensão de W_{1} é 2.

Resposta

Base: \{(1,3,0),(0,-1,1)\}
Dimensão: \;2

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