— QUESTÃO 58

Considere o sistema de três equações lineares de duas in-
x+2 y=-1
cógnitas \quad-3 x+4 y=k.
2 x-y=-7
O valor de k para que o sistema seja compatível é:
(A) 3
(B) 7
(C) 13
(D) 15

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em duas incógnitas x e y e pede o valor de k para que o sistema seja compatível (isto é, tenha pelo menos uma solução). As equações são:
x+2y=-1
-3x+4y=k
2x-y=-7

Passo 2

Vamos primeiro resolver duas equações quaisquer para encontrar x e y. Vou usar a eliminação entre a primeira e a terceira equação porque isso elimina x de forma simples. A ideia da eliminação é combinar as equações (somando, subtraindo ou multiplicando) para anular uma incógnita e assim achar a outra. Multiplico a primeira equação por 2 para alinhar o coeficiente de x com a terceira:
2\cdot(x+2y)=2\cdot(-1)\quad\Rightarrow\quad 2x+4y=-2

Passo 3

Agora subtraio a terceira equação \,2x-y=-7\! da equação obtida \,2x+4y=-2\! para eliminar x. Fazendo a subtração membro a membro:
(2x+4y)-(2x-y)= -2 - (-7).
No lado esquerdo 2x cancela com -2x e sobra 4y-(-y)=5y. No lado direito -2-(-7)=-2+7=5. Logo:
5y=5.

Passo 4

Da igualdade acima seguimos que
y=\frac{5}{5}=1.
Explicando: dividir ambos os lados por 5 isola a incógnita y.

Passo 5

Com y=1 usamos a primeira equação para achar x. Substituo y em x+2y=-1:
x+2\cdot1=-1 \quad\Rightarrow\quad x+2=-1 \quad\Rightarrow\quad x=-1-2=-3.
Isso é substituição: pegamos o valor encontrado de y e colocamos em uma equação para achar x.

Passo 6

Agora que temos x=-3 e y=1, imponho que a segunda equação deve ser satisfeita para que o sistema seja compatível. Substituo na segunda equação -3x+4y=k:
-3\cdot(-3)+4\cdot1 = k.
Calculo o lado esquerdo:
-3\cdot(-3)=9,\qquad 4\cdot1=4,\qquad 9+4=13.
Portanto
k=13.

Passo 7

Verificação rápida para ter certeza (sempre bom checar): com x=-3 e y=1,
x+2y=-3+2\cdot1=-3+2=-1\quad\text{(ok)},
2x-y=2\cdot(-3)-1=-6-1=-7\quad\text{(ok)},
e já vimos que a segunda dá 13. Então o triplo (x,y,k)=(-3,1,13) torna o sistema compatível.

Resposta

(C) 13

Exercícios relacionados