— QUESTÃO 58
Considere o sistema de três equações lineares de duas in-
cógnitas
.
O valor de
para que o sistema seja compatível é:
(A) 3
(B) 7
(C) 13
(D) 15
(A) 3
(B) 7
(C) 13
(D) 15
Passo 1
O enunciado dá um sistema de três equações lineares em duas incógnitas
e
e pede o valor de
para que o sistema seja compatível (isto é, tenha pelo menos uma solução). As equações são:
Passo 2
Vamos primeiro resolver duas equações quaisquer para encontrar
e
. Vou usar a eliminação entre a primeira e a terceira equação porque isso elimina
de forma simples. A ideia da eliminação é combinar as equações (somando, subtraindo ou multiplicando) para anular uma incógnita e assim achar a outra. Multiplico a primeira equação por
para alinhar o coeficiente de
com a terceira:
Passo 3
Agora subtraio a terceira equação
da equação obtida
para eliminar
. Fazendo a subtração membro a membro:
No lado esquerdo
cancela com
e sobra
. No lado direito
. Logo:
Passo 4
Da igualdade acima seguimos que
Explicando: dividir ambos os lados por
isola a incógnita
.
Passo 5
Com
usamos a primeira equação para achar
. Substituo
em
:
Isso é substituição: pegamos o valor encontrado de
e colocamos em uma equação para achar
.
Passo 6
Agora que temos
e
, imponho que a segunda equação deve ser satisfeita para que o sistema seja compatível. Substituo na segunda equação
:
Calculo o lado esquerdo:
Portanto
Passo 7
Verificação rápida para ter certeza (sempre bom checar): com
e
,
e já vimos que a segunda dá
. Então o triplo
torna o sistema compatível.
Resposta
(C)