Questão 58. Discuta e resolva os seguintes sistemas nas variáveis x, y e z : \left\{\begin{array}{r}m x+y=1-m \\\ x+m y=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema com parâmetro m\) nas incógnitas \(x,y,z\):
\[\begin{cases} m x + y = 1-m,\\[4pt] x + m y = 0. \end{cases}
Informações relevantes:
Há duas equações e três incógnitas \,x,y,z\].\n
- O parâmetro é \(\,m\in\mathbb{R}.\n
- O enunciado pede para “discutir e resolver”: isto é, determinar para quais valores de m o sistema tem solução e escrever as soluções (quando existirem), possivelmente dependendo de parâmetros livres.]
Passo 2
Vamos interpretar o sistema como um sistema linear A\mathbf{u}=\mathbf{b} nas incógnitas \mathbf{u}=(x,y) (a variável z não aparece nas equações, portanto será sempre livre). A matriz dos coeficientes e o vetor termo independente são
Explicação rápida: se D\neq 0 a matriz A é invertível e o sistema tem solução única para x,y. Se D=0 (ou seja m^{2}=1, isto é m=\pm 1) a situação precisa ser discutida caso a caso: pode haver infinitas soluções ou nenhuma.]
Passo 3
Caso D\neq 0 (isto é, m^{2}\neq 1 ou m\neq\pm 1), usamos a Regra de Cramer para obter x e y.
Definimos os determinantes substituindo a coluna correspondente por \mathbf{b}:
A variável z não aparece nas equações, portanto é livre: escrevemos z como parâmetro, digamos z=t com t\in\mathbb{R}.
Conclusão para m\neq\pm 1: solução única para x,y dada acima e z arbitrário.
Passo 5
Caso m=1\). Substituindo \(m=1\) no sistema obtemos
\[\begin{cases} 1\cdot x + y = 1-1 = 0,\\[4pt] x + 1\cdot y = 0. \end{cases}
As duas equações são idênticas: x+y=0\]. Logo não há contradição e temos infinitas soluções para \(x,y descritas por um parâmetro: seja s\in\mathbb{R} e tome x=s, então y=-s. A variável z continua livre; seja t\in\mathbb{R} tal que z=t.
Conclusão para m=1: família de soluções com dois parâmetros s,t.]
Passo 6
Caso m=-1\). Substituindo \(m=-1\) no sistema obtemos
\[\begin{cases} -1\cdot x + y = 1-(-1) = 2,\\[4pt] x -1\cdot y = 0. \end{cases}
A segunda equação dá x-y=0\Rightarrow y=x\]. Substituindo na primeira:
\[-x + x = 2 \quad\Rightarrow\quad 0=2,\]
que é uma contradição. Portanto o sistema é incompatível e não tem solução quando \(m=-1.]
Passo 7
Resumo das situações (para usar na prova: sempre verificar o determinante; se for zero, substituir o valor de m nas equações e verificar consistência ou dependência das equações):
Se m\neq\pm 1: solução única para x,y dada por fórmulas racionais; z livre.
Se m=1: infinitas soluções (uma relação linear entre x e y), z livre.