Questão 58. Discuta e resolva os seguintes sistemas nas variáveis x, y e z :
\left\{\begin{array}{r}m x+y=1-m \\\ x+m y=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema com parâmetro m\) nas incógnitas \(x,y,z\): \[\begin{cases} m x + y = 1-m,\\[4pt] x + m y = 0. \end{cases}
Informações relevantes:
  • Há duas equações e três incógnitas \,x,y,z\].\n - O parâmetro é \(\,m\in\mathbb{R}.\n
    - O enunciado pede para “discutir e resolver”: isto é, determinar para quais valores de m o sistema tem solução e escrever as soluções (quando existirem), possivelmente dependendo de parâmetros livres.]

Passo 2

Vamos interpretar o sistema como um sistema linear A\mathbf{u}=\mathbf{b} nas incógnitas \mathbf{u}=(x,y) (a variável z não aparece nas equações, portanto será sempre livre). A matriz dos coeficientes e o vetor termo independente são
A=\begin{pmatrix}m & 1\\[4pt]1 & m\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1-m\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Para decidir se existe solução única para x,y calculamos o determinante de A,
D=\det(A)=\begin{vmatrix}m & 1\\[4pt]1 & m\end{vmatrix}=m\cdot m - 1\cdot 1 = m^{2}-1.
Explicação rápida: se D\neq 0 a matriz A é invertível e o sistema tem solução única para x,y. Se D=0 (ou seja m^{2}=1, isto é m=\pm 1) a situação precisa ser discutida caso a caso: pode haver infinitas soluções ou nenhuma.]

Passo 3

Caso D\neq 0 (isto é, m^{2}\neq 1 ou m\neq\pm 1), usamos a Regra de Cramer para obter x e y.
Definimos os determinantes substituindo a coluna correspondente por \mathbf{b}:
D_x=\begin{vmatrix}1-m & 1\\[4pt]0 & m\end{vmatrix}=(1-m)\cdot m - 1\cdot 0 = m(1-m)=m-m^{2},
D_y=\begin{vmatrix}m & 1-m\\[4pt]1 & 0\end{vmatrix}=m\cdot 0 -(1-m)\cdot 1 = -(1-m)=m-1.
Pela Regra de Cramer:
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}.]

Passo 4

Agora simplificamos as frações obtidas (lembrando que m\neq\pm 1 neste caso, logo podemos cancelar fatores sem divisões por zero):
x=\frac{m-m^{2}}{m^{2}-1}=\frac{m(1-m)}{(m-1)(m+1)}=\frac{-m(m-1)}{(m-1)(m+1)}=-\frac{m}{m+1},
y=\frac{m-1}{m^{2}-1}=\frac{m-1}{(m-1)(m+1)}=\frac{1}{m+1}.
A variável z não aparece nas equações, portanto é livre: escrevemos z como parâmetro, digamos z=t com t\in\mathbb{R}.
Conclusão para m\neq\pm 1: solução única para x,y dada acima e z arbitrário.

Passo 5

Caso m=1\). Substituindo \(m=1\) no sistema obtemos \[\begin{cases} 1\cdot x + y = 1-1 = 0,\\[4pt] x + 1\cdot y = 0. \end{cases}
As duas equações são idênticas: x+y=0\]. Logo não há contradição e temos infinitas soluções para \(x,y descritas por um parâmetro: seja s\in\mathbb{R} e tome x=s, então y=-s. A variável z continua livre; seja t\in\mathbb{R} tal que z=t.
Conclusão para m=1: família de soluções com dois parâmetros s,t.]

Passo 6

Caso m=-1\). Substituindo \(m=-1\) no sistema obtemos \[\begin{cases} -1\cdot x + y = 1-(-1) = 2,\\[4pt] x -1\cdot y = 0. \end{cases}
A segunda equação dá x-y=0\Rightarrow y=x\]. Substituindo na primeira: \[-x + x = 2 \quad\Rightarrow\quad 0=2,\] que é uma contradição. Portanto o sistema é incompatível e não tem solução quando \(m=-1.]

Passo 7

Resumo das situações (para usar na prova: sempre verificar o determinante; se for zero, substituir o valor de m nas equações e verificar consistência ou dependência das equações):
  • Se m\neq\pm 1: solução única para x,y dada por fórmulas racionais; z livre.
  • Se m=1: infinitas soluções (uma relação linear entre x e y), z livre.
  • Se m=-1: sistema incompatível, sem solução.

Resposta

m\neq\pm 1:\\ (x,y,z)=\Bigl(-\dfrac{m}{m+1},\\ \dfrac{1}{m+1},\\ t\Bigr),\\ t\in\mathbb{R}.
m=1:\\ (x,y,z)=(s,\\\ -s,\\ t),\\ s,t\in\mathbb{R}.
m=-1: sem solução.

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