Questão 57. Resolva os sistemas lineares abaixo pelos seguintes métodos: regra de Cramer, método do escalonamento, Gauss - Jordan e Rouchè - Capelli:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo por quatro métodos diferentes: regra de Cramer, escalonamento (eliminação), Gauss–Jordan e Rouchè–Capelli. O sistema dado é:
Informações relevantes que temos (isto é tudo o que o enunciado nos dá):
- Duas equações lineares com duas incógnitas
e . - O objetivo é encontrar
e e mostrar a resolução por cada um dos métodos indicados.]
Passo 2
Regra de Cramer — princípio e fórmulas breves (aulasuavezinha).
- Para um sistema linear
a regra de Cramer diz que, se o determinante da matriz dos coeficientes
for diferente de zero, então o sistema tem solução única dada por
onde
pelos termos independentes
, e
é obtido substituindo a coluna dos coeficientes de
por
.]
Passo 3
Aplicando Cramer ao nosso sistema.
- Matriz dos coeficientes e seu determinante:
Como
, existe solução única.
- Determinante
(substitui coluna de pelos termos independentes ):
- Determinante
(substitui coluna de pelos termos independentes):
- Logo,
Passo 4
Método do escalonamento (eliminação) — ideia e regras rápidas.
- Transformar o sistema numa forma triangular (escalonada) usando operações elementares de linhas (somar múltiplos de uma equação a outra, trocar equações, multiplicar uma equação por escalar diferente de zero). Essas operações preservam o conjunto de soluções.
- Depois, resolver por substituição (retro-substituição) a partir da última equação triangular.
Passo 5
Aplicando escalonamento passo a passo.
Começo escrevendo a matriz aumentada do sistema:
Começo escrevendo a matriz aumentada do sistema:
Para evitar frações, faço primeiro a troca de linhas para obter um pivô
na primeira linha (isso é opcional, mas deixa as contas mais simples):
- Trocar
:
Agora elimino o coeficiente abaixo do pivô
(zerar a entrada da coluna 1 na segunda linha):
- Fazer
:
A matriz fica
A segunda linha dá diretamente
, logo
. Substituindo
na primeira equação
:
Passo 6
Gauss–Jordan — ideia e aplicação.
- Gauss–Jordan leva a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas (forma reduzida escalonada por linhas, onde a parte dos coeficientes fica igual à matriz identidade), usando operações elementares. Assim lemos a solução diretamente sem retro-substituição.
Usando a mesma troca já feita e o resultado do escalonamento, partimos de
Agora normalizo a segunda linha para pivô
:
-
:
Em seguida elimino o coeficiente acima do pivô da segunda coluna:
-
:
A matriz reduzida fica
Daí lemos diretamente
,
.]
Passo 7
Rouchè–Capelli — verificação de existência e unicidade da solução.
- O teorema de Rouchè–Capelli diz que o sistema é possível se, e somente se, o posto (rank) da matriz dos coeficientes
for igual ao posto da matriz aumentada . Se esse posto for igual ao número de incógnitas, a solução é única. - A matriz dos coeficientes é
Como calculado no Passo 3,
. Para uma matriz
,
implica
.
- A matriz aumentada tem no máximo posto
, e não há relação que aumente o posto ao incluir o vetor independente porque já se tem posto máximo. Logo também. - Conclusão pelo teorema:
, que é igual ao número de incógnitas . Portanto o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução). Esse fato confirma a solução única encontrada: , .]
Passo 8
Resumo final das soluções obtidas por cada método (confirmação amigável):
- Regra de Cramer:
. - Escalonamento:
. - Gauss–Jordan:
. - Rouchè–Capelli: sistema possível e determinado (solução única) — a solução é
.