Questão 57. Resolva os sistemas lineares abaixo pelos seguintes métodos: regra de Cramer, método do escalonamento, Gauss - Jordan e Rouchè - Capelli:
\left\{\begin{array}{c}2 x+y=4 \\\ x-3 y=-5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo por quatro métodos diferentes: regra de Cramer, escalonamento (eliminação), Gauss–Jordan e Rouchè–Capelli. O sistema dado é:
\begin{cases} 2x + y = 4\\[4pt] x - 3y = -5 \end{cases}
Informações relevantes que temos (isto é tudo o que o enunciado nos dá):
  • Duas equações lineares com duas incógnitas x e y.
  • O objetivo é encontrar x e y e mostrar a resolução por cada um dos métodos indicados.]

Passo 2

Regra de Cramer — princípio e fórmulas breves (aulasuavezinha).
  • Para um sistema linear 2\times2\) \[\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1\\[4pt] a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases}
a regra de Cramer diz que, se o determinante da matriz dos coeficientes
D = \det\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
for diferente de zero, então o sistema tem solução única dada por
x = \frac{D_x}{D},\qquad y = \frac{D_y}{D},
onde D_x\] é o determinante obtido substituindo a coluna dos coeficientes de \(x pelos termos independentes (b_1,b_2), e D_y é obtido substituindo a coluna dos coeficientes de y por (b_1,b_2).]

Passo 3

Aplicando Cramer ao nosso sistema.
  • Matriz dos coeficientes e seu determinante:
D=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}=2\cdot(-3)-1\cdot1=-6-1=-7.
Como D\neq0, existe solução única.
  • Determinante D_x (substitui coluna de x pelos termos independentes (4,-5)):
D_x=\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] -5 & -3\end{pmatrix}=4\cdot(-3)-1\cdot(-5)=-12+5=-7.
  • Determinante D_y (substitui coluna de y pelos termos independentes):
D_y=\det\begin{pmatrix}2 & 4\\[4pt] 1 & -5\end{pmatrix}=2\cdot(-5)-4\cdot1=-10-4=-14.
  • Logo,
x=\frac{D_x}{D}=\frac{-7}{-7}=1,\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-14}{-7}=2.]

Passo 4

Método do escalonamento (eliminação) — ideia e regras rápidas.
  • Transformar o sistema numa forma triangular (escalonada) usando operações elementares de linhas (somar múltiplos de uma equação a outra, trocar equações, multiplicar uma equação por escalar diferente de zero). Essas operações preservam o conjunto de soluções.
  • Depois, resolver por substituição (retro-substituição) a partir da última equação triangular.

Passo 5

Aplicando escalonamento passo a passo.
Começo escrevendo a matriz aumentada do sistema:
\left(\begin{array}{cc|c} 2 & 1 & 4\\[4pt] 1 & -3 & -5 \end{array}\right).
Para evitar frações, faço primeiro a troca de linhas para obter um pivô 1 na primeira linha (isso é opcional, mas deixa as contas mais simples):
  • Trocar L_1 \leftrightarrow L_2:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & -5\\[4pt] 2 & 1 & 4 \end{array}\right).
Agora elimino o coeficiente abaixo do pivô 1 (zerar a entrada da coluna 1 na segunda linha):
  • Fazer L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1:
L_2: \\ (2,\,1,\,4) - 2(1,\,-3,\,-5) = (2-2,\,1-(-6),\,4-(-10)) = (0,\,7,\,14).
A matriz fica
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & -5\\[4pt] 0 & 7 & 14 \end{array}\right).
A segunda linha dá diretamente 7y=14, logo y=2. Substituindo y=2 na primeira equação x-3y=-5:
x-3\cdot2=-5 \quad\Rightarrow\quad x-6=-5 \quad\Rightarrow\quad x=1.]

Passo 6

Gauss–Jordan — ideia e aplicação.
  • Gauss–Jordan leva a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas (forma reduzida escalonada por linhas, onde a parte dos coeficientes fica igual à matriz identidade), usando operações elementares. Assim lemos a solução diretamente sem retro-substituição.
    Usando a mesma troca já feita e o resultado do escalonamento, partimos de
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & -5\\[4pt] 0 & 7 & 14 \end{array}\right).
Agora normalizo a segunda linha para pivô 1:
  • L_2 \leftarrow \dfrac{1}{7}L_2:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right).
Em seguida elimino o coeficiente acima do pivô da segunda coluna:
  • L_1 \leftarrow L_1 + 3 L_2:
L_1: \\ (1,\,-3,\,-5) + 3(0,\,1,\,2) = (1,\,0,\,1).
A matriz reduzida fica
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 \end{array}\right).
Daí lemos diretamente x=1, y=2.]

Passo 7

Rouchè–Capelli — verificação de existência e unicidade da solução.
  • O teorema de Rouchè–Capelli diz que o sistema é possível se, e somente se, o posto (rank) da matriz dos coeficientes A for igual ao posto da matriz aumentada [A|b]. Se esse posto for igual ao número de incógnitas, a solução é única.
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
Como calculado no Passo 3, \det(A)=D=-7\neq0. Para uma matriz 2\times2, \det(A)\neq0 implica \operatorname{rank}(A)=2.
  • A matriz aumentada tem no máximo posto 2, e não há relação que aumente o posto ao incluir o vetor independente porque já se tem posto máximo. Logo \operatorname{rank}([A|b])=2 também.
  • Conclusão pelo teorema: \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2, que é igual ao número de incógnitas 2. Portanto o sistema é possível e determinado (tem exatamente uma solução). Esse fato confirma a solução única encontrada: x=1, y=2.]

Passo 8

Resumo final das soluções obtidas por cada método (confirmação amigável):
  • Regra de Cramer: x=1,\; y=2.
  • Escalonamento: x=1,\; y=2.
  • Gauss–Jordan: x=1,\; y=2.
  • Rouchè–Capelli: sistema possível e determinado (solução única) — a solução é x=1,\; y=2.

Resposta

x=1
y=2

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