Resolva os sistemas abaixo usando matrizes:
\left\{\begin{aligned} x-y & =4 \\\\ 2 x-3 y & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar os valores de x\) e \(y\). O sistema dado é: \[\begin{cases} x - y = 4,\\[4pt] 2x - 3y = 5. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações lineares acima (coeficientes e termos independentes).
  • Objetivo: determinar x\] e \(y.]

Passo 2

Vamos escrever o sistema na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,, onde:
A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt] 5\end{pmatrix}.
Explicação didática: aqui A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação), \mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas e \mathbf{b} é o vetor dos termos independentes. Resolver o sistema equivale a encontrar \mathbf{x} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}.]

Passo 3

Método escolhido: usar a inversa da matriz A. Se A for invertível (determinante diferente de zero), então
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.
Para matrizes 2\times2, a inversa tem fórmula fechada. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
então o determinante é \det(A)=ad-bc e
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix},
desde que \det(A)\neq0. Aqui a=1, b=-1, c=2, d=-3.]

Passo 4

Calcular o determinante \det(A):
\det(A)=1\cdot(-3)-(-1)\cdot 2 = -3 -(-2) = -3+2 = -1.
Como \det(A)=-1\neq0, A é invertível e podemos usar a fórmula da inversa.

Passo 5

Aplicar a fórmula da inversa para A:
A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}-3 & 1\\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Explicação: trocou-se a e d, mudou-se sinal de b e c, e dividiu-se por \det(A).]

Passo 6

Agora multiplicar A^{-1} por \mathbf{b} para obter \mathbf{x}:
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} =\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\[4pt] 5\end{pmatrix}.
Calculemos cada componente:
x = 3\cdot 4 + (-1)\cdot 5 = 12 - 5 = 7,
y = 2\cdot 4 + (-1)\cdot 5 = 8 - 5 = 3.]

Passo 7

Verificação rápida (substituir na equação original):
x-y = 7-3 = 4\quad\checkmark,
2x-3y = 2\cdot 7 - 3\cdot 3 = 14 - 9 = 5\quad\checkmark.
As soluções satisfazem ambas as equações.

Resposta

x=7
y=3

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