Questão 58. Discuta e resolva os seguintes sistemas nas variáveis x, y e z :
\left\{\begin{array}{c}x+m y+z=m \\\ x-y+m z=0 \\\ x-y+m z=m\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear nas incógnitas x,\\ y,\\ z\): \[\begin{cases} x+m y+z=m\\[4pt] x-y+m z=0\\[4pt] x-y+m z=m \end{cases}
As perguntas implícitas são:
  • Discutir para que valores do parâmetro m\] o sistema é compatível ou incompatível. - Quando for compatível, determinar a(s) solução(ões) \((x,y,z).
As informações relevantes que temos:
  • Há três equações lineares em três incógnitas.
  • As equações 2 e 3 têm o mesmo membro esquerdo x-y+mz e membros direitos diferentes ( 0 e m), o que é uma pista importante para determinar compatibilidade.]

Passo 2

Observação imediata usando as equações 2 e 3: como os membros esquerdos são idênticos, os membros direitos devem ser iguais para que ambas as equações possam ser verdadeiras simultaneamente. Então igualamos os lados direitos e obtemos a condição
0 = m.
Isto significa que:
  • Se \,m\neq 0\,, as equações 2 e 3 exigem coisas contraditórias (uma diz que x-y+mz=0 e outra que x-y+mz=m com m\neq0), logo o sistema é incompatível (sem solução).
  • Se \,m=0\,, as equações 2 e 3 coincidem e devemos resolver o sistema reduzido nessa situação.

Passo 3

Concluímos já uma parte da discussão:
  • Para \,m\neq 0: sistema impossível (sem solução).
  • Para \,m=0: proceder à resolução do sistema substituindo m=0.
Agora vamos resolver o caso \,m=0 passo a passo.

Passo 4

Substituindo \,m=0 nas três equações obtemos:
\begin{cases} x + 0\cdot y + z = 0\\[4pt] x - y + 0\cdot z = 0\\[4pt] x - y + 0\cdot z = 0 \end{cases}
As equações 2 e 3 são idênticas; portanto o sistema efetivamente tem só duas equações independentes:
\begin{cases} x + z = 0\\[4pt] x - y = 0 \end{cases}]

Passo 5

Resolver estas duas equações: da primeira,
x+z=0 \quad\Rightarrow\quad x = -z.
Da segunda,
x-y=0 \quad\Rightarrow\quad y = x.
Agora substituímos x=-z em y=x para escrever todas as incógnitas em função de um parâmetro livre. Seja t um parâmetro real representando z:
z = t,\qquad x = -t,\qquad y = x = -t.

Passo 6

Interpretando: para \,m=0 o sistema tem infinitas soluções que formam uma reta no espaço (x,y,z), dada por
(x,y,z) = (-t,\,-t,\;t),\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida: para qualquer t, substituindo em x+z=0 e x-y=0 obtemos -t + t = 0 e -t - (-t)=0, ou seja, as equações são satisfeitas.

Resposta

Para m\neq 0: sem solução (sistema incompatível).
Para m=0: infinitas soluções, dadas por (x,y,z)=(-t,-t,t), t\in\mathbb{R}.

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