Questão 57. Resolva os sistemas lineares abaixo pelos seguintes métodos: regra de Cramer, método do escalonamento, Gauss - Jordan e Rouchè - Capelli: \left\{\begin{array}{c}\frac{2}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=-1 \\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0 \\\ \frac{3}{x}-\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=-4\end{array}\right.
e pede que o resolvamos pelos métodos: regra de Cramer, escalonamento (eliminação de Gauss), Gauss–Jordan e Rouché–Capelli. O objetivo final é obter os valores de [x,;y,;z).
Informações relevantes fornecidas:
As incógnitas aparecem nas formas \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}. Vou simplificar introduzindo novas incógnitas para transformar o sistema em um sistema linear normal (isso facilita usar todos os métodos pedidos).
Isso é um sistema linear A\mathbf{t}=\mathbf{b}\] com \(\mathbf{t}=(u,v,w)^{T}. A resolução seguirá em cima desse sistema linear; depois, ao final, voltamos a x,y,z usando x=1/u, y=1/v, z=1/w (desde que u,v,w\neq0).]
Passo 2
Resolução pelo método da regra de Cramer (explicação e cálculo passo a passo).
Breve aula: Regra de Cramer diz que, para um sistema linear A\mathbf{t}=\mathbf{b} com A quadrada e \det(A)\neq0, a solução única é dada por
Resolução pelo método do escalonamento (eliminação de Gauss), com explicação didática.
Breve aula: Na eliminação de Gauss fazemos operações elementares em linhas da matriz aumentada para deixá-la triangular superior; depois fazemos substituição regressiva para obter as incógnitas. Operações permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra.
Começo pelo sistema em (u,v,w)\):
\[\begin{cases} 2u-v-w=-1,\\[4pt] u+v+w=0,\\[4pt] 3u-2v+w=-4. \end{cases}
Da segunda linha: v + w = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow\\ v=\dfrac{1}{3}-w=\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{7}{9}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{9}=\dfrac{10}{9}.
Da primeira linha: u+v+w=0\\ \Rightarrow\\ u = -v-w = -\dfrac{10}{9}-\left(-\dfrac{7}{9}\right)=-\dfrac{3}{9}=-\dfrac{1}{3}.
Resolução pelo método de Gauss–Jordan (redução completa para forma reduzida por linhas), com explicação.
Breve aula: Gauss–Jordan vai além da eliminação de Gauss: transforma a matriz aumentada em forma reduzida por linhas (identidade na parte esquerda), de modo que as soluções aparecem diretamente na coluna de termos independentes sem necessidade de substituição regressiva. As mesmas operações elementares de linha são usadas.
Verificação pelo critério de Rouché–Capelli (consistência e número de soluções).
Teoria curta e clara: Para o sistema linear A\mathbf{t}=\mathbf{b}, o teorema de Rouché–Capelli afirma que o sistema é compatível (tem ao menos uma solução) se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]). Se esse posto (rank) for igual ao número de incógnitas, a solução é única; se for menor, há infinitas soluções.
Aplicando ao nosso caso:
Já calculamos \det(A)=9\neq0. Uma matriz quadrada com determinante não nulo tem posto \operatorname{rank}(A)=3 (máximo).
A matriz aumentada [A|\mathbf{b}] não pode ter posto maior que 3, então \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=3 também.
Logo \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])=3, que é igual ao número de incógnitas 3. Pelo teorema, o sistema é compatível determinado: existe exatamente uma solução.
Isso confirma a unicidade das soluções encontradas nos passos anteriores.