Questão 60.

Suponhamos que X seja uma variável aleatória contínua com fdp
f(x)=l 1+x, se -1 <= x <= 0 1-x, se 0 <= x <= 1
Calcule Var(X).

Passo 1

O enunciado dá uma variável contínua
e pede e .

Passo 2

Observe que f(x) é simétrica em torno de zero, pois f(-x)=1-x=f(x) para 0<= x<=1. Como xmapsto x é função ímpar, a média é nula:
E[X]=integral-1^1x,f(x),dx=0

Passo 3

Agora calculamos
E[X^2]=integral-1^1x^2,f(x),dx
Pela simetria de x^2,f(x), temos
E[X^2]=2integral0^1x^2,(1-x),dx

Passo 4

Calculamos o integral
integral0^1x^2,(1-x),dx =integral0^1(x^2 - x^3),dx =l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =tfrac13-tfrac14 =tfrac112
Logo
E[X^2]=2cdot tfrac112=tfrac16

Passo 5

Como E[X]=0, segue
Var(X)=E[X^2] - l(E[X]r)^2 =tfrac16-0 =tfrac16

Resposta

Var(X)=tfrac16

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