A vida útil (em anos) de um equipamento é uma variável aleatória que pode ser descrita pela seguinte função densidade de probabilidade (PDF):
f(x)= 2 e^-2 x, & para x >= 0 0, & para outros valores de x
a) Qual a probabilidade do tempo de vida do equipamento ser superior a 0.8 anos?
square
b) Se três unidades do equipamento em questão forem escolhidas para avaliação, qual será a probabilidade de que ao menos duas unidades tenham vida útil superior a 0.8 anos?
square
c) Qual é o valor esperado, variância e o desvio-padrão da vida do equipamento?
& E[X]=mu=square & V(X)=sigma^2=square & D P(X)=sigma=square

Passo 1

O enunciado descreve a vida útil X de um equipamento que segue uma distribuição exponencial com parâmetro lambda=2, ou seja,
f(x)=2e^-2x, x>=0
Para resolver:
  • na alínea (a) vamos usar a função de sobrevivência Pr(X>t)=e^-lambda t;
  • na alínea (b) vamos modelar o número de equipamentos com vida acima de 0,8 anos por uma binomial de parâmetros n=3 e p=Pr(X>0.8);
  • na alínea (c) usamos as fórmulas de esperança e variância da exponencial: E[X]=1/lambda e Var(X)=1/lambda^2.

Passo 2

Para (a), a probabilidade de X exceder 0,8 é a função de sobrevivência:
Pr(X>0.8)=e^-2cdot0.8=e^-1.6

Passo 3

Para (b), seja Y o número de equipamentos (em 3) com vida >0,8. Então YsimBinomial(n=3,p=e^-1.6) e queremos Pr(Y>=2):
Pr(Y>=2)=binom32p^2(1-p)+binom33p^3 =3,p^2(1-p)+p^3,
onde p=e^-1.6.

Passo 4

Para (c), numa exponencial de parâmetro lambda=2 vale:
E[X]=1lambda=12, Var(X)=1lambda^2=14, DP(X)=raizVar(X)=12

Resposta

a) Pr(X>0.8)=e^-1.6\n
b) Pr(ao menos 2)=3l(e^-1.6r)^2l(1-e^-1.6r)+l(e^-1.6r)^3\n
c) E[X]=tfrac12, V(X)=tfrac14, DP(X)=tfrac12

Exercícios relacionados