Questão 61. Calcule a soma dos 25 termos iniciais da sequência definida da seguinte forma a_{1}=2 e a_{n}=a_{1} \cdot 3^{n-1}+n, \forall n \geq 2.

Passo 1

O enunciado dá a primeira termo \,a_{1}=2\, e, para todo n\ge 2, a fórmula
a_{n}=a_{1}\cdot 3^{\,n-1}+n.
Pede-se a soma dos 25 primeiros termos, ou seja calcular
S_{25}=\sum_{n=1}^{25}a_{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \,a_{1}=2.
  • Para n\ge 2: \,a_{n}=2\cdot 3^{\,n-1}+n (usei que a_{1}=2 para substituir).
  • Objetivo: encontrar \,S_{25}=\sum_{n=1}^{25}a_{n}.

Passo 2

Escrevo a soma separando o primeiro termo e os termos a partir de n=2:
S_{25}=a_{1}+\sum_{n=2}^{25}a_{n}.
Substituo a_{1}=2 e, para os outros termos, a expressão dada:
S_{25}=2+\sum_{n=2}^{25}\bigl(2\cdot 3^{\,n-1}+n\bigr).

Passo 3

Uso a propriedade da soma distributiva para separar a soma em duas somas mais simples:
S_{25}=2+2\sum_{n=2}^{25}3^{\,n-1}+\sum_{n=2}^{25}n.
Agora vou calcular separadamente a soma geométrica \sum_{n=2}^{25}3^{\,n-1} e a soma aritmética \sum_{n=2}^{25}n.

Passo 4

Cálculo da soma geométrica. Faço uma troca de índice para ficar mais claro:
\sum_{n=2}^{25}3^{\,n-1}=\sum_{k=1}^{24}3^{\,k},
onde usei k=n-1. Lembrete rápido sobre a fórmula da soma geométrica: para r\neq 1,
\sum_{k=0}^{m}r^{k}=\frac{r^{\,m+1}-1}{r-1}.
Derivinha curta (por que essa fórmula funciona): multiplicando \sum_{k=0}^{m}r^{k} por (r-1) cancela quase todos os termos e sobra r^{m+1}-1, daí a fórmula acima.

Passo 5

Aplico a fórmula ao caso \sum_{k=1}^{24}3^{k}. Posso escrever
\sum_{k=1}^{24}3^{k}=\sum_{k=0}^{24}3^{k}-3^{0}=\frac{3^{25}-1}{3-1}-1.
Como 3^{0}=1 e 3-1=2, simplifico:
\sum_{k=1}^{24}3^{k}=\frac{3^{25}-1}{2}-1=\frac{3^{25}-1-2}{2}=\frac{3^{25}-3}{2}.

Passo 6

Volto à expressão de S_{25}. O termo com a soma geométrica vale
2\sum_{n=2}^{25}3^{\,n-1}=2\cdot\frac{3^{25}-3}{2}=3^{25}-3.

Passo 7

Cálculo da soma aritmética \sum_{n=2}^{25}n. Uso a fórmula da soma dos primeiros m naturais:
\sum_{n=1}^{m}n=\frac{m(m+1)}{2}.
Derivinha curta (por que essa fórmula funciona): emparelha-se 1 com m, 2 com m-1, etc.; cada par soma m+1 e há m/2 pares quando m é par, dando \frac{m(m+1)}{2}.
Aplicando com m=25:
\sum_{n=1}^{25}n=\frac{25\cdot 26}{2}=325.
Logo
\sum_{n=2}^{25}n=\sum_{n=1}^{25}n-1=325-1=324.

Passo 8

Agora junto tudo:
S_{25}=2+\bigl(3^{25}-3\bigr)+324.
Simplifico os termos constantes: -3+2+324=323. Portanto
S_{25}=3^{25}+323.

Resposta

3^{25}+323

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