Questão 61. Calcule a soma dos 25 termos iniciais da sequência definida da seguinte forma
e
.
Passo 1
O enunciado dá a primeira termo
e, para todo
, a fórmula
Pede-se a soma dos
primeiros termos, ou seja calcular
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. - Para
: (usei que para substituir). - Objetivo: encontrar
Passo 2
Escrevo a soma separando o primeiro termo e os termos a partir de
:
Substituo
e, para os outros termos, a expressão dada:
Passo 3
Uso a propriedade da soma distributiva para separar a soma em duas somas mais simples:
Agora vou calcular separadamente a soma geométrica
e a soma aritmética
.
Passo 4
Cálculo da soma geométrica. Faço uma troca de índice para ficar mais claro:
onde usei
. Lembrete rápido sobre a fórmula da soma geométrica: para
,
Derivinha curta (por que essa fórmula funciona): multiplicando
por
cancela quase todos os termos e sobra
, daí a fórmula acima.
Passo 5
Aplico a fórmula ao caso
. Posso escrever
Como
e
, simplifico:
Passo 6
Volto à expressão de
. O termo com a soma geométrica vale
Passo 7
Cálculo da soma aritmética
. Uso a fórmula da soma dos primeiros
naturais:
Derivinha curta (por que essa fórmula funciona): emparelha-se
com
,
com
, etc.; cada par soma
e há
pares quando
é par, dando
.
Aplicando com
:
Logo
Passo 8
Agora junto tudo:
Simplifico os termos constantes:
. Portanto