Questão 63 (OCM). Se a sequência \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{n}\right) é uma P.A. Mostre que a sequência 2^{a_{1}}, 2^{a_{2}}, 2^{a_{3}}, \ldots, 2^{a_{n}} é uma P.G.

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right) e afirma que ela é uma P.A. O que se pede: mostrar que a sequência
\,2^{a_{1}},2^{a_{2}},\ldots,2^{a_{n}}\,
é uma P.G.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existe uma diferença comum (razão) da P.A.; seja essa razão \,d.
  • Os termos da P.A. satisfazem relações entre si típicas de uma progressão aritmética (diferença constante).

Passo 2

Definir claramente a razão da P.A. e a forma do termo geral.
Se \left(a_{k}\right) é P.A. com razão \,d, então para todo índice k vale
a_{k+1}-a_{k}=d.
A partir disso obtemos a fórmula do termo geral da P.A.:
a_{k}=a_{1}+(k-1)d,
onde \,a_{1} é o primeiro termo e \,d é a diferença comum (razão) — isto significa que para ir de a_{1} até a_{k} somou-se d exatamente k-1 vezes.

Passo 3

Relembrar a propriedade de potências que vamos usar (uma mini-aula de expoentes).
Para qualquer base positiva (aqui escolhemos base 2) e quaisquer números reais x e y vale a regra
2^{x+y}=2^{x}\cdot 2^{y}.
Dessa regra segue também
\frac{2^{x}}{2^{y}}=2^{x-y}.
Essas identidades são fundamentais para transformar somas de expoentes em produtos de potências e vice‑versa.

Passo 4

Calcular a razão entre termos consecutivos da sequência \,2^{a_{k}}\,.
Para todo k consideramos a razão
\frac{2^{a_{k+1}}}{2^{a_{k}}}.
Usando a propriedade de potências do passo anterior obtemos
\frac{2^{a_{k+1}}}{2^{a_{k}}}=2^{\,a_{k+1}-a_{k}}.
Como \,a_{k+1}-a_{k}=d (razão da P.A.), segue que
\frac{2^{a_{k+1}}}{2^{a_{k}}}=2^{d},
que é independente de k. Ou seja, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma.

Passo 5

Interpretação do resultado do Passo 4.
Encontramos uma constante 2^{d} tal que, para todo k,
\frac{2^{a_{k+1}}}{2^{a_{k}}}=2^{d}.
Isso é exatamente a condição que define uma progressão geométrica: termos consecutivos têm razão constante. Portanto a sequência \,2^{a_{1}},2^{a_{2}},\ldots,2^{a_{n}}\, tem razão comum \,2^{d}.

Passo 6

Escrever o termo geral da P.G. resultante (forma explícita que é útil na prova/na prova).
Substituindo a_{k}=a_{1}+(k-1)d em 2^{a_{k}} e usando a regra de expoentes:
2^{a_{k}}=2^{\,a_{1}+(k-1)d}=2^{a_{1}}\cdot 2^{(k-1)d}=2^{a_{1}}\bigl(2^{d}\bigr)^{k-1}.
Isto mostra explicitamente que o k-ésimo termo é o primeiro termo 2^{a_{1}} vezes a razão \,2^{d} elevada a k-1, forma típica de termo geral de P.G.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia (pequena checagem prática).
Escolhendo \,a_{1}=3 e \,d=2 (P.A.: 3,5,7,\ldots), os termos transformados ficam
2^{3}=8,\quad 2^{5}=32,\quad 2^{7}=128,\ldots
e a razão 32/8=4 e 128/32=4. Esse 4 é 2^{d}=2^{2}. Funciona na prática.

Passo 8

Observação sobre caso degenerado.
Se \,d=0 (a P.A. é constante), então 2^{d}=1 e a sequência \,2^{a_{k}}\, é constante também — isto é uma P.G. com razão 1. Portanto o argumento cobre todos os casos.

Resposta

A sequência 2^{a_{1}},2^{a_{2}},\ldots,2^{a_{n}} é uma P.G. de razão 2^{d}, onde d=a_{2}-a_{1} (razão da P.A.).

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