Questão 63 (OCM). Se a sequência
é uma P.A. Mostre que a sequência
é uma P.G.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e afirma que ela é uma P.A. O que se pede: mostrar que a sequência
é uma P.G.
é uma P.G.
Informações relevantes fornecidas:
- Existe uma diferença comum (razão) da P.A.; seja essa razão
. - Os termos da P.A. satisfazem relações entre si típicas de uma progressão aritmética (diferença constante).
Passo 2
Definir claramente a razão da P.A. e a forma do termo geral.
Se
é P.A. com razão
, então para todo índice
vale
A partir disso obtemos a fórmula do termo geral da P.A.:
onde
é o primeiro termo e
é a diferença comum (razão) — isto significa que para ir de
até
somou-se
exatamente
vezes.
Passo 3
Relembrar a propriedade de potências que vamos usar (uma mini-aula de expoentes).
Para qualquer base positiva (aqui escolhemos base
) e quaisquer números reais
e
vale a regra
Dessa regra segue também
Essas identidades são fundamentais para transformar somas de expoentes em produtos de potências e vice‑versa.
Passo 4
Calcular a razão entre termos consecutivos da sequência
.
Para todo
consideramos a razão
Usando a propriedade de potências do passo anterior obtemos
Como
(razão da P.A.), segue que
que é independente de
. Ou seja, a razão entre termos consecutivos é sempre a mesma.
Passo 5
Interpretação do resultado do Passo 4.
Encontramos uma constante
tal que, para todo
,
Isso é exatamente a condição que define uma progressão geométrica: termos consecutivos têm razão constante. Portanto a sequência
tem razão comum
.
Passo 6
Escrever o termo geral da P.G. resultante (forma explícita que é útil na prova/na prova).
Substituindo
em
e usando a regra de expoentes:
Isto mostra explicitamente que o
-ésimo termo é o primeiro termo
vezes a razão
elevada a
, forma típica de termo geral de P.G.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia (pequena checagem prática).
Escolhendo
e
(P.A.:
), os termos transformados ficam
e a razão
e
. Esse
é
. Funciona na prática.
Passo 8
Observação sobre caso degenerado.
Se
(a P.A. é constante), então
e a sequência
é constante também — isto é uma P.G. com razão
. Portanto o argumento cobre todos os casos.
Resposta
A sequência
é uma P.G. de razão
, onde
(razão da P.A.).