Questão 62 (CESGRANRIO / BB - 2012). Uma loja oferece um aparelho celular por R $1.344, 00 à vista. Esse aparelho pode ser comprado a prazo, com juros de 10 \% ao mês, em dois pagamentos mensais iguais: um, no ato da compra, e outro, um mês após a compra. O valor de cada um dos pagamentos mensais é, em reais, de ?

Passo 1

O enunciado dá o preço à vista e oferece pagamento em duas prestações iguais com juros mensais. Pergunta: qual é o valor de cada prestação? Dados fornecidos:
  • Preço à vista: \text{R\$ }1344.
  • Juros: 10\% ao mês.
  • Pagamentos: duas prestações iguais, uma paga no ato (tempo 0) e a outra paga um mês depois (tempo 1 mês).
    Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Vamos colocar uma incógnita para o valor de cada prestação. Seja \;x\; o valor, em reais, de cada uma das duas prestações. Queremos encontrar \;x\;.

Passo 3

Explicando a ideia financeira que usamos (passo-a-passo, sem jargões):
  • Quando há juros de 10\% ao mês, um valor pago daqui a um mês vale menos hoje. Para trazer (descontar) um pagamento futuro para o valor presente usamos a fórmula do valor presente de um pagamento único:
\text{PV}=\frac{\text{valor pago no tempo }t}{(1+i)^t},
onde i é a taxa por período e t é o número de períodos. Aqui i=10\%=0{,}10 por mês. Para t=1 mês, o fator de desconto é 1+i=1{,}10.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso:
  • A prestação paga no ato (tempo 0) tem valor presente igual a \;x\; (não precisa descontar).
  • A prestação paga um mês depois (tempo 1) tem valor presente igual a \dfrac{x}{1{,}10}.
Como o preço à vista ( \text{R\$ }1344) é equivalente ao valor presente total das duas prestações, montamos a equação:
x+\frac{x}{1{,}10}=1344.

Passo 5

Agora resolvemos a equação passo a passo. Primeiro somamos os termos com x:
x\left(1+\frac{1}{1{,}10}\right)=1344.
Calculamos \dfrac{1}{1{,}10}. Note que 1{,}10=\dfrac{11}{10}, então
\frac{1}{1{,}10}=\frac{1}{\tfrac{11}{10}}=\frac{10}{11}.
Substituindo,
1+\frac{1}{1{,}10}=1+\frac{10}{11}=\frac{11}{11}+\frac{10}{11}=\frac{21}{11}.
Logo a equação fica
x\cdot\frac{21}{11}=1344.

Passo 6

Isolamos x multiplicando ambos os lados por \dfrac{11}{21}:
x=1344\cdot\frac{11}{21}.
Simplificamos \dfrac{1344}{21}. Calculando 21\times64=1344, então \dfrac{1344}{21}=64. Assim
x=64\cdot11=704.

Passo 7

Verificação rápida (para me deixar mais confiante e também você na prova): calcular o valor presente das duas prestações \text{R\$ }704:
704+\frac{704}{1{,}10}=704+704\cdot\frac{10}{11}=704+640=1344,
que é exatamente o preço à vista, portanto está consistente.

Passo 8

Interpretação final amigável: cada prestação paga — a do ato e a de um mês depois — vale \text{R\$ }704,00. Dá um suspiro, tá tudo certo — você consegue!

Resposta

\text{R\$ }704,00

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