Questão 63 (CESGRANRIO / BB-2015). Uma empresa fez um contrato no valor de 500 mil reais com um fornecedor que lhe ofereceu duas formas de pagamento:
Opção I - Pagar à vista com 10 \% de desconto, na data da assinatura do contrato.
Opção II - Pagar a prazo, em duas parcelas mensais, iguais e sucessivas de 250 mil reais cada, com vencimentos para 1 e 2 meses, respectivamente, contados a partir da assinatura do contrato.

Passo 1

O enunciado descreve duas opções de pagamento para um contrato de \,500000 reais e pede determinar qual condição torna as opções equivalentes. Dados fornecidos no enunciado:
  • Valor nominal do contrato: \,500000 reais.
  • Opção I: pagar à vista com 10\% de desconto, na assinatura do contrato.
  • Opção II: pagar a prazo em duas parcelas iguais de \,250000 reais, com vencimentos em 1 mês e 2 meses após a assinatura.
O que vamos responder: calcular a taxa de juros mensal composta \,i (em percentual) que torna o valor presente da Opção II igual ao pagamento à vista da Opção I (ou seja, deixa as duas opções equivalentes).

Passo 2

Entender e calcular o valor à vista (Opção I). Um desconto de 10\% sobre \,500000 significa que o pagamento imediato será:
\text{Valor à vista} = 500000 \times (1-0{,}10) = 500000 \times 0{,}90.à
Calculemos:
\text{Valor à vista} = 500000 \times 0{,}90 = 450000.à
Portanto, quem paga à vista desembolsa \,450000 reais no tempo zero.

Passo 3

Explicar o conceito de valor presente (VP) e fator de desconto. Quando há pagamentos futuros, para compará-los com um pagamento hoje usamos o valor presente: cada pagamento futuro é dividido por (1+i)^n, onde:
  • \,i é a taxa de juros por período (aqui: taxa mensal composta);
  • \,n é o número de períodos até o pagamento.
    A fórmula para trazer um pagamento futuro A que ocorre em n períodos ao valor presente é:
\text{VP} = \frac{A}{(1+i)^n}.
Isso traduz a ideia de que dinheiro no futuro vale menos hoje, descontado pela taxa i.

Passo 4

Aplicar o conceito à Opção II (duas parcelas de \,250000). O valor presente da Opção II é a soma dos valores presentes das duas parcelas:
\text{VP}_{\text{II}} = \frac{250000}{(1+i)} + \frac{250000}{(1+i)^2}.
Aqui usamos n=1 para a primeira parcela (vencimento em 1 mês) e n=2 para a segunda (vencimento em 2 meses).

Passo 5

Equacionar a igualdade de valor presente entre as duas opções (condição de equivalência). Queremos:
\text{VP}_{\text{II}} = \text{Valor à vista},à
ou seja
\frac{250000}{(1+i)} + \frac{250000}{(1+i)^2} = 450000.

Passo 6

Simplificar a equação para resolver \,i. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por 250000 para números menores:
\frac{1}{(1+i)} + \frac{1}{(1+i)^2} = \frac{450000}{250000}.
Calcule o lado direito:
\frac{450000}{250000} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5} = 1{,}8.
Portanto:
\frac{1}{(1+i)} + \frac{1}{(1+i)^2} = 1{,}8.

Passo 7

Resolver a equação transformando em polinômio. Seja x=\dfrac{1}{1+i}. Então a equação vira:
x + x^2 = 1{,}8.
Colocando em forma padrão:
x^2 + x - 1{,}8 = 0.
Isto é uma equação quadrática em x. Vamos usar a fórmula de Bhaskara: para ax^2+bx+c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1, c=-1{,}8. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot 1 \cdot (-1{,}8) = 1 + 7{,}2 = 8{,}2.
Logo
x = \frac{-1 \pm \sqrt{8{,}2}}{2}.
Como x=\dfrac{1}{1+i} deve ser positivo (pois 1+i>0), descartamos a raiz negativa e ficamos com
x = \frac{-1 + \sqrt{8{,}2}}{2}.
Calcule a aproximação numérica: \sqrt{8{,}2}\approx 2{,}86356, então
x \approx \frac{-1 + 2{,}86356}{2} = \frac{1{,}86356}{2} \approx 0{,}931782.

Passo 8

Voltar de x para i. Lembrando que x=\dfrac{1}{1+i}, então
1+i = \frac{1}{x} \quad\Rightarrow\quad i = \frac{1}{x}-1.
Substituindo a aproximação de x:
1+i \approx \frac{1}{0{,}931782} \approx 1{,}073333,
portanto
i \approx 1{,}073333 -1 = 0{,}073333.
Convertendo para porcentagem (usando vírgula como separador decimal):
i \approx 0{,}073333 \equiv 7{,}333\%.
Arredondando para duas casas decimais:
i \approx 7{,}33\% \text{ ao mês.}ê

Passo 9

Interpretação prática rápida (útil na prova): se a taxa de mercado mensal for maior que \,7{,}33\%, o valor presente das parcelas (Opção II) será menor que \,450000, então a Opção II será mais vantajosa financeiramente. Se a taxa de mercado mensal for menor que \,7{,}33\%, a Opção I (pagamento à vista com desconto) será melhor.

Resposta

i \approx 7{,}33\% ao mês.

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