Questão 63 (CESGRANRIO / BB-2015). Uma empresa fez um contrato no valor de 500 mil reais com um fornecedor que lhe ofereceu duas formas de pagamento:
Opção I - Pagar à vista com
de desconto, na data da assinatura do contrato.
Opção II - Pagar a prazo, em duas parcelas mensais, iguais e sucessivas de 250 mil reais cada, com vencimentos para 1 e 2 meses, respectivamente, contados a partir da assinatura do contrato.
Passo 1
O enunciado descreve duas opções de pagamento para um contrato de
reais e pede determinar qual condição torna as opções equivalentes. Dados fornecidos no enunciado:
- Valor nominal do contrato:
reais. - Opção I: pagar à vista com
de desconto, na assinatura do contrato. - Opção II: pagar a prazo em duas parcelas iguais de
reais, com vencimentos em 1 mês e 2 meses após a assinatura.
O que vamos responder: calcular a taxa de juros mensal composta
(em percentual) que torna o valor presente da Opção II igual ao pagamento à vista da Opção I (ou seja, deixa as duas opções equivalentes).
Passo 2
Entender e calcular o valor à vista (Opção I). Um desconto de
sobre
significa que o pagamento imediato será:
Calculemos:
Portanto, quem paga à vista desembolsa
reais no tempo zero.
Passo 3
Explicar o conceito de valor presente (VP) e fator de desconto. Quando há pagamentos futuros, para compará-los com um pagamento hoje usamos o valor presente: cada pagamento futuro é dividido por
, onde:
-
é a taxa de juros por período (aqui: taxa mensal composta); -
é o número de períodos até o pagamento.
A fórmula para trazer um pagamento futuroque ocorre em períodos ao valor presente é:
Isso traduz a ideia de que dinheiro no futuro vale menos hoje, descontado pela taxa
.
Passo 4
Aplicar o conceito à Opção II (duas parcelas de
). O valor presente da Opção II é a soma dos valores presentes das duas parcelas:
Aqui usamos
para a primeira parcela (vencimento em 1 mês) e
para a segunda (vencimento em 2 meses).
Passo 5
Equacionar a igualdade de valor presente entre as duas opções (condição de equivalência). Queremos:
ou seja
Passo 6
Simplificar a equação para resolver
. Primeiro, podemos dividir ambos os lados por
para números menores:
Calcule o lado direito:
Portanto:
Passo 7
Resolver a equação transformando em polinômio. Seja
. Então a equação vira:
Colocando em forma padrão:
Isto é uma equação quadrática em
. Vamos usar a fórmula de Bhaskara: para
,
Aqui
,
,
. O discriminante é
Logo
Como
deve ser positivo (pois
), descartamos a raiz negativa e ficamos com
Calcule a aproximação numérica:
, então
Passo 8
Voltar de
para
. Lembrando que
, então
Substituindo a aproximação de
:
portanto
Convertendo para porcentagem (usando vírgula como separador decimal):
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 9
Interpretação prática rápida (útil na prova): se a taxa de mercado mensal for maior que
, o valor presente das parcelas (Opção II) será menor que
, então a Opção II será mais vantajosa financeiramente. Se a taxa de mercado mensal for menor que
, a Opção I (pagamento à vista com desconto) será melhor.