Questão 63. Escreva as frações abaixo como somas de frações parciais:
\frac{x^{2}+2 x-1}{2 x^{3}+3 x^{2}-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a fração racional
\frac{x^{2}+2x-1}{2x^{3}+3x^{2}-2x}
como soma de frações parciais.
Informações dadas (explicitadas):
  • Numerador: \;x^{2}+2x-1.\n
  • Denominador: \;2x^{3}+3x^{2}-2x.\n
    A tarefa é decompor essa fração em somas de frações simples cujos denominadores são fatores lineares (se possível).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Vou fatorar \;2x^{3}+3x^{2}-2x.
Coloco um fator comum x:
2x^{3}+3x^{2}-2x = x(2x^{2}+3x-2).
Agora fatoro a quadrática \;2x^{2}+3x-2. Calculo o discriminante:
\Delta = 3^{2}-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25.
Como \Delta=25 é quadrado perfeito, as raízes são
x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{-3\pm5}{4}.
Assim as raízes são x=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} e x=\dfrac{-8}{4}=-2. Logo a quadrática fatora como
2x^{2}+3x-2=(2x-1)(x+2).
Portanto o denominador completo é
2x^{3}+3x^{2}-2x = x(2x-1)(x+2).

Passo 3

Como o denominador tem três fatores lineares distintos, proponho a decomposição padrão:
\frac{x^{2}+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{x+2},
onde A,B,C são constantes a determinar. Essa é a forma geral porque cada fator linear recebe um termo com numerador constante.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por x(2x-1)(x+2) para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
x^{2}+2x-1 = A(2x-1)(x+2) + B\,x(x+2) + C\,x(2x-1).
Vou usar um método prático e bem didático: avaliar essa identidade em valores de x que anulem cada um dos fatores do denominador (isso evita montar e resolver um sistema completo de coeficientes).

Passo 5

Avalio a identidade em x=0 (anula os termos com x multiplicando):
  • Lado esquerdo: 0^{2}+2\cdot0-1=-1.
  • No lado direito, quando x=0 os termos com B e C somem; sobra apenas A(2\cdot0-1)(0+2)=A(-1)(2)=-2A.
    Logo
-1 = -2A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}.
Avalio em x=\dfrac{1}{2} (anula 2x-1):
  • Lado esquerdo: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+2\cdot\tfrac{1}{2}-1=\tfrac{1}{4}+1-1=\tfrac{1}{4}.
  • No lado direito, os termos com A e C contêm o fator 2x-1 e portanto são zero; sobra só B\cdot x(x+2) com x=\tfrac{1}{2}:
B\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+2\right)=B\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}=B\cdot\frac{5}{4}.
Então
\frac{1}{4} = B\cdot\frac{5}{4} \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{5}.
Avalio em x=-2 (anula x+2):
  • Lado esquerdo: (-2)^{2}+2(-2)-1=4-4-1=-1.
  • No lado direito, apenas o termo com C sobrevive:
C\cdot(-2)\bigl(2(-2)-1\bigr)=C\cdot(-2)(-5)=C\cdot10.
Logo
-1 = 10C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{10}.

Passo 6

Temos os valores:
A=\frac{1}{2},\qquad B=\frac{1}{5},\qquad C=-\frac{1}{10}.
Substituindo na decomposição inicial:
\frac{x^{2}+2x-1}{x(2x-1)(x+2)}=\frac{1/2}{x}+\frac{1/5}{2x-1}-\frac{1/10}{x+2}.
Posso reescrever de forma mais direta:
\frac{x^{2}+2x-1}{2x^{3}+3x^{2}-2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{x+2}.

Passo 7

Pequena checagem mental (sem recombinar tudo): os valores de A,B,C foram obtidos por avaliações em x=0,\tfrac{1}{2},-2, que são precisamente as raízes dos fatores do denominador, portanto a identidade polinomial resultante é satisfeita nos três pontos e, como ambos os lados são polinômios de grau \le2, isso garante que a igualdade vale identicamente (confiança OK). Boa prática na prova: usar essas avaliações rápidas sempre que o denominador fatorar em raízes simples.

Resposta

\frac{x^{2}+2x-1}{2x^{3}+3x^{2}-2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{2x-1}-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{x+2}

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