Questão 63. Escreva as frações abaixo como somas de frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para escrever a fração racional
como soma de frações parciais.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Numerador:
.\n - Denominador:
.\n
A tarefa é decompor essa fração em somas de frações simples cujos denominadores são fatores lineares (se possível).
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar o denominador. Vou fatorar
.
Coloco um fator comum :
Coloco um fator comum
Agora fatoro a quadrática
. Calculo o discriminante:
Como
é quadrado perfeito, as raízes são
Assim as raízes são
e
. Logo a quadrática fatora como
Portanto o denominador completo é
Passo 3
Como o denominador tem três fatores lineares distintos, proponho a decomposição padrão:
onde
são constantes a determinar. Essa é a forma geral porque cada fator linear recebe um termo com numerador constante.
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Vou usar um método prático e bem didático: avaliar essa identidade em valores de
que anulem cada um dos fatores do denominador (isso evita montar e resolver um sistema completo de coeficientes).
Passo 5
Avalio a identidade em
(anula os termos com
multiplicando):
- Lado esquerdo:
. - No lado direito, quando
os termos com e somem; sobra apenas .
Logo
Avalio em
(anula
):
- Lado esquerdo:
- No lado direito, os termos com
e contêm o fator e portanto são zero; sobra só com :
Então
Avalio em
(anula
):
- Lado esquerdo:
- No lado direito, apenas o termo com
sobrevive:
Logo
Passo 6
Temos os valores:
Substituindo na decomposição inicial:
Posso reescrever de forma mais direta:
Passo 7
Pequena checagem mental (sem recombinar tudo): os valores de
foram obtidos por avaliações em
, que são precisamente as raízes dos fatores do denominador, portanto a identidade polinomial resultante é satisfeita nos três pontos e, como ambos os lados são polinômios de grau
, isso garante que a igualdade vale identicamente (confiança OK). Boa prática na prova: usar essas avaliações rápidas sempre que o denominador fatorar em raízes simples.