Questão 62. Encontre os valores dos números reais x, y e z na equação: (x+2 y+z-5)^{2}+(2 x-y+3 z-19)^{2}+(3 x+y-4 z+8)^{2}=0 pelos seguintes métodos:
Roché - Capelli.
Passo 1
O enunciado dá a soma de quadrados
(x+2y+z-5)^{2}+(2x-y+3z-19)^{2}+(3x+y-4z+8)^{2}=0
e pede para encontrar os números reais x,y,z usando o método de Roché–Capelli.
Observação importante (que vem direto da aritmética básica): cada termo (\cdot)^{2} é maior ou igual a zero para todo número real. A soma de três quadrados é zero se, e somente se, cada quadrado for zero. Portanto os três termos devem se anular simultaneamente, o que gera o seguinte sistema linear de três equações com três incógnitas (peguei estas equações da própria expressão dada):
A tarefa é resolver esse sistema e, conforme pedido, usar o teorema de Roché–Capelli para justificar existência/unicidade da solução.]
Passo 2
Vou explicar, de forma didática, o que diz o teorema de Roché–Capelli e como vamos usá-lo.
Enunciado do teorema (versão prática):
Considere um sistema linear A\mathbf{u}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{u} o vetor das incógnitas e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes.
Forme a matriz aumentada [A\mid\mathbf{b}].
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}]), o sistema é compatível (tem pelo menos uma solução).
Se além disso \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}])=n (onde n é o número de incógnitas), a solução é única.
Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}]), o sistema é incompatível (sem solução).
Explicação sobre \operatorname{rank}: é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes de uma matriz. Para uma matriz quadrada n\times n, se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=n.
Vamos aplicar esse critério ao sistema obtido no passo anterior.
Passo 3
Escrevo a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A\mid\mathbf{b}] (peguei os coeficientes e os termos independentes das equações do Passo 1):
Calculo \det(A) para decidir rapidamente o posto de A. Se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=3 (o número de incógnitas), e pelo teorema teremos solução única.
Como \det(A)=40\neq0, segue que \operatorname{rank}(A)=3. Logo \operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}])=3 também (uma matriz aumentada não pode ter posto menor que A, e aqui já alcançamos o máximo possível). Pelo teorema de Roché–Capelli o sistema é compatível determinado: existe exatamente uma solução.]
Passo 5
Agora obtenho a solução explicitamente (método de eliminação gaussiana, mostrado passo a passo para poder reproduzir na prova sem calculadora).