Questão 62. Encontre os valores dos números reais x, y e z na equação: (x+2 y+z-5)^{2}+(2 x-y+3 z-19)^{2}+(3 x+y-4 z+8)^{2}=0 pelos seguintes métodos:
Roché - Capelli.

Passo 1

O enunciado dá a soma de quadrados
(x+2y+z-5)^{2}+(2x-y+3z-19)^{2}+(3x+y-4z+8)^{2}=0
e pede para encontrar os números reais x,y,z usando o método de Roché–Capelli.
Observação importante (que vem direto da aritmética básica): cada termo (\cdot)^{2} é maior ou igual a zero para todo número real. A soma de três quadrados é zero se, e somente se, cada quadrado for zero. Portanto os três termos devem se anular simultaneamente, o que gera o seguinte sistema linear de três equações com três incógnitas (peguei estas equações da própria expressão dada):
\begin{cases} x+2y+z-5=0,\\[4pt] 2x-y+3z-19=0,\\[4pt] 3x+y-4z+8=0. \end{cases}
A tarefa é resolver esse sistema e, conforme pedido, usar o teorema de Roché–Capelli para justificar existência/unicidade da solução.]

Passo 2

Vou explicar, de forma didática, o que diz o teorema de Roché–Capelli e como vamos usá-lo.
Enunciado do teorema (versão prática):
  • Considere um sistema linear A\mathbf{u}=\mathbf{b}, onde A é a matriz dos coeficientes, \mathbf{u} o vetor das incógnitas e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes.
  • Forme a matriz aumentada [A\mid\mathbf{b}].
  • Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}]), o sistema é compatível (tem pelo menos uma solução).
  • Se além disso \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}])=n (onde n é o número de incógnitas), a solução é única.
  • Se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}]), o sistema é incompatível (sem solução).
    Explicação sobre \operatorname{rank}: é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes de uma matriz. Para uma matriz quadrada n\times n, se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=n.
Vamos aplicar esse critério ao sistema obtido no passo anterior.

Passo 3

Escrevo a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A\mid\mathbf{b}] (peguei os coeficientes e os termos independentes das equações do Passo 1):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 3\\[4pt] 3 & 1 & -4 \end{pmatrix}, \qquad [A\mid\mathbf{b}]= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & \vline & 5\\[4pt] 2 & -1 & 3 & \vline & 19\\[4pt] 3 & 1 & -4 & \vline & -8 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo \det(A) para decidir rapidamente o posto de A. Se \det(A)\neq0 então \operatorname{rank}(A)=3 (o número de incógnitas), e pelo teorema teremos solução única.
Faço a expansão por cofactores na primeira linha:
\det(A)= 1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 1 & -4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt] 1 & -4\end{pmatrix}=(-1)(-4)-3\cdot1=4-3=1,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix}=2\cdot(-4)-3\cdot3=-8-9=-17,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)\cdot3=2+3=5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot1-2\cdot(-17)+1\cdot5=1+34+5=40.
Como \det(A)=40\neq0, segue que \operatorname{rank}(A)=3. Logo \operatorname{rank}([A\mid\mathbf{b}])=3 também (uma matriz aumentada não pode ter posto menor que A, e aqui já alcançamos o máximo possível). Pelo teorema de Roché–Capelli o sistema é compatível determinado: existe exatamente uma solução.]

Passo 5

Agora obtenho a solução explicitamente (método de eliminação gaussiana, mostrado passo a passo para poder reproduzir na prova sem calculadora).
Escrevo as equações (retiradas no Passo 1):
\begin{cases} x+2y+z=5,\\[4pt] 2x-y+3z=19,\\[4pt] 3x+y-4z=-8. \end{cases}
Usando a primeira equação como pivô, elimino x\) das outras: - \(\text{(2)} - 2\cdot\text{(1)}:\) \[(2x-y+3z)-2(x+2y+z)=19-2\cdot5
\Rightarrow -5y+z=9.
  • \text{(3)} - 3\cdot\text{(1)}:
(3x+y-4z)-3(x+2y+z)=-8-3\cdot5
\Rightarrow -5y-7z=-23.
Agora tem-se o sistema reduzido em y,z:
\begin{cases} -5y+z=9,\\[4pt] -5y-7z=-23. \end{cases}
Subtraio a segunda da primeira ( \text{(1)} - \text{(2)}\] do sistema reduzido) para eliminar \(y:
(-5y+z)-(-5y-7z)=9-(-23)\quad\Rightarrow\quad 8z=32.
Logo
z=4.
Substituo em -5y+z=9:
-5y+4=9\quad\Rightarrow\quad -5y=5\quad\Rightarrow\quad y=-1.
Finalmente uso a primeira equação x+2y+z=5 para achar x:
x+2(-1)+4=5\quad\Rightarrow\quad x-2+4=5\quad\Rightarrow\quad x+2=5\quad\Rightarrow\quad x=3.]

Passo 6

Verificação rápida (substituição nas expressões originais, peguei os termos da equação inicial):
x+2y+z-5=3+2(-1)+4-5=3-2+4-5=0,
2x-y+3z-19=2\cdot3-(-1)+3\cdot4-19=6+1+12-19=0,
3x+y-4z+8=3\cdot3+(-1)-4\cdot4+8=9-1-16+8=0.
Todas as três expressões são zero, logo a soma dos quadrados dada no enunciado é realmente zero com esses valores.

Resposta

x=3
y=-1
z=4

Exercícios relacionados