Questão 62. Encontre os valores dos números reais x, y e z na equação: (x+2 y+z-5)^{2}+(2 x-y+3 z-19)^{2}+(3 x+y-4 z+8)^{2}=0 pelos seguintes métodos:
Gauss - Jordan.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
(x+2y+z-5)^{2}+(2x-y+3z-19)^{2}+(3x+y-4z+8)^{2}=0
e pede os valores reais de x\), \(y\) e \(z\) que satisfazem essa igualdade. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
- A expressão é uma soma de três quadrados e essa soma vale zero.
- A igualdade vale em \(\mathbb{R}\) (ou seja, procuramos soluções reais para \(x,y,z\)).
- A partir do fato de que uma soma de quadrados é zero somente se cada quadrado for zero, obtemos as três equações lineares (peguei essas equações diretamente do enunciado):
\[\begin{cases} x+2y+z-5=0,\\[4pt] 2x-y+3z-19=0,\\[4pt] 3x+y-4z+8=0. \end{cases}
Estas três equações lineares em (x,y,z] são os dados que usaremos para encontrar os valores procurados.]
Passo 2
Breve explicação do método pedido (Gauss–Jordan) e preparação do sistema:
O método de Gauss–Jordan transforma o sistema linear em uma forma reduzida por linhas (chamada forma reduzida por linhas ou RREF), usando operações elementares de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, e somar a múltiplos de uma linha em outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Para aplicar o método, escrevemos a matriz ampliada (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos constantes) do sistema. A matriz ampliada, obtida diretamente das três equações listadas no Passo 1, é
Cada linha representa uma equação; as colunas à esquerda da barra vertical são os coeficientes de x, y e z; a coluna à direita é o termo constante.]
Passo 3
Objetivo do processo: obter a forma reduzida por linhas com pivôs 1 e zeros acima e abaixo de cada pivô, de modo a ler diretamente os valores de x,y,z. Vou aplicar operações passo a passo, explicando cada operação e por que faço.
Operação 1: eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha para zerar as primeiras entradas de R2 e R3).
Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Comentário: agora temos um pivô 1 na posição da coluna de y (segunda coluna, segunda linha). Próximo passo: zerar os outros elementos nessa coluna (acima e abaixo do pivô).]
Passo 5
Operação 3: eliminar o coeficiente de y nas linhas 1 e 3.
Para zerar o 2 em R_1, fazemos R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Para zerar o -5 em R_3, fazemos R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2.
A matriz em forma reduzida por linhas corresponde diretamente às equações
\begin{cases} x = 3,\\[4pt] y = -1,\\[4pt] z = 4. \end{cases}
Esses valores satisfazem o sistema original (pode-se rapidamente checar substituindo nas três expressões lineares internas aos quadrados do enunciado, mas o processo de Gauss–Jordan já garantiu a consistência e unicidade da solução).
Pequena verificação mental rápida (opcional, só para ganhar confiança):