Questão 62. Encontre os valores dos números reais x, y e z na equação: (x+2 y+z-5)^{2}+(2 x-y+3 z-19)^{2}+(3 x+y-4 z+8)^{2}=0 pelos seguintes métodos:
Gauss - Jordan.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(x+2y+z-5)^{2}+(2x-y+3z-19)^{2}+(3x+y-4z+8)^{2}=0
e pede os valores reais de x\), \(y\) e \(z\) que satisfazem essa igualdade. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são: - A expressão é uma soma de três quadrados e essa soma vale zero. - A igualdade vale em \(\mathbb{R}\) (ou seja, procuramos soluções reais para \(x,y,z\)). - A partir do fato de que uma soma de quadrados é zero somente se cada quadrado for zero, obtemos as três equações lineares (peguei essas equações diretamente do enunciado): \[\begin{cases} x+2y+z-5=0,\\[4pt] 2x-y+3z-19=0,\\[4pt] 3x+y-4z+8=0. \end{cases}
Estas três equações lineares em (x,y,z] são os dados que usaremos para encontrar os valores procurados.]

Passo 2

Breve explicação do método pedido (Gauss–Jordan) e preparação do sistema:
  • O método de Gauss–Jordan transforma o sistema linear em uma forma reduzida por linhas (chamada forma reduzida por linhas ou RREF), usando operações elementares de linha: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não nula, e somar a múltiplos de uma linha em outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
  • Para aplicar o método, escrevemos a matriz ampliada (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos constantes) do sistema. A matriz ampliada, obtida diretamente das três equações listadas no Passo 1, é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 19\\[4pt] 3 & 1 & -4 & -8 \end{array}\right].
Cada linha representa uma equação; as colunas à esquerda da barra vertical são os coeficientes de x, y e z; a coluna à direita é o termo constante.]

Passo 3

Objetivo do processo: obter a forma reduzida por linhas com pivôs 1 e zeros acima e abaixo de cada pivô, de modo a ler diretamente os valores de x,y,z. Vou aplicar operações passo a passo, explicando cada operação e por que faço.
Operação 1: eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar a primeira linha para zerar as primeiras entradas de R2 e R3).
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Cálculo:
R_2 - 2R_1:\quad \begin{array}{r} (2)-2(1)=0,\\[2pt] (-1)-2(2)=-1-4=-5,\\[2pt] (3)-2(1)=3-2=1,\\[2pt] 19-2(5)=19-10=9. \end{array}
R_3 - 3R_1:\quad \begin{array}{r} (3)-3(1)=0,\\[2pt] (1)-3(2)=1-6=-5,\\[2pt] (-4)-3(1)=-4-3=-7,\\[2pt] -8-3(5)=-8-15=-23. \end{array}
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & -5 & 1 & 9\\[4pt] 0 & -5 & -7 & -23 \end{array}\right].]

Passo 4

Operação 2: obter pivô igual a 1 na segunda linha. Atualmente a segunda linha tem coeficiente -5 na coluna de y. Divido a segunda linha por -5:
R_2 \leftarrow \frac{1}{-5}R_2.
Cálculo:
\frac{1}{-5}\cdot[0,\,-5,\,1\,|\,9] = [0,\,1,\,-\tfrac{1}{5}\,|\, -\tfrac{9}{5}].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{9}{5}\\[4pt] 0 & -5 & -7 & -23 \end{array}\right].
Comentário: agora temos um pivô 1 na posição da coluna de y (segunda coluna, segunda linha). Próximo passo: zerar os outros elementos nessa coluna (acima e abaixo do pivô).]

Passo 5

Operação 3: eliminar o coeficiente de y nas linhas 1 e 3.
  • Para zerar o 2 em R_1, fazemos R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
  • Para zerar o -5 em R_3, fazemos R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2.
Cálculos:
Para R_1 - 2R_2:
\begin{array}{r} 1 - 2\cdot 0 = 1,\\[2pt] 2 - 2\cdot 1 = 0,\\[2pt] 1 - 2\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right) = 1 + \tfrac{2}{5} = \tfrac{7}{5},\\[2pt] 5 - 2\cdot\left(-\tfrac{9}{5}\right) = 5 + \tfrac{18}{5} = \tfrac{25+18}{5} = \tfrac{43}{5}. \end{array}
Para R_3 + 5R_2:
\begin{array}{r} 0 + 5\cdot 0 = 0,\\[2pt] -5 + 5\cdot 1 = 0,\\[2pt] -7 + 5\cdot\left(-\tfrac{1}{5}\right) = -7 -1 = -8,\\[2pt] -23 + 5\cdot\left(-\tfrac{9}{5}\right) = -23 -9 = -32. \end{array}
Matriz atualizada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{7}{5} & \tfrac{43}{5}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{9}{5}\\[6pt] 0 & 0 & -8 & -32 \end{array}\right].
Explicação: agora temos zeros na coluna de y fora do pivô; resta resolver a coluna de z.]

Passo 6

Operação 4: tornar o elemento da terceira linha e terceira coluna igual a 1 (pivô em z). A terceira linha é [0,0,-8|-32]. Divido por -8:
R_3 \leftarrow \frac{1}{-8}R_3 = [0,0,1|4].
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{7}{5} & \tfrac{43}{5}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{9}{5}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right].
Comentário: agora há um pivô 1 na coluna de z. Para ficar em forma reduzida por linhas, precisamos zerar os coeficientes de z nas linhas 1 e 2.]

Passo 7

Operação 5: eliminar os coeficientes de z nas linhas 1 e 2 usando a linha 3:
  • Em R_1 o coeficiente de z é \tfrac{7}{5}. Fazer R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{7}{5}R_3.
  • Em R_2 o coeficiente de z é -\tfrac{1}{5}. Fazer R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{5}R_3.
Cálculos:
Para R_1 - \tfrac{7}{5}R_3:
\begin{array}{r} 1 - \tfrac{7}{5}\cdot 0 = 1,\\[2pt] 0 - \tfrac{7}{5}\cdot 0 = 0,\\[2pt] \tfrac{7}{5} - \tfrac{7}{5}\cdot 1 = 0,\\[2pt] \tfrac{43}{5} - \tfrac{7}{5}\cdot 4 = \tfrac{43}{5} - \tfrac{28}{5} = \tfrac{15}{5} = 3. \end{array}
Para R_2 + \tfrac{1}{5}R_3:
\begin{array}{r} 0 + \tfrac{1}{5}\cdot 0 = 0,\\[2pt] 1 + \tfrac{1}{5}\cdot 0 = 1,\\[2pt] -\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{5}\cdot 1 = 0,\\[2pt] -\tfrac{9}{5} + \tfrac{1}{5}\cdot 4 = -\tfrac{9}{5} + \tfrac{4}{5} = -\tfrac{5}{5} = -1. \end{array}
Matriz final em forma reduzida:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 4 \end{array}\right].]

Passo 8

Interpretação final e verificação:
  • A matriz em forma reduzida por linhas corresponde diretamente às equações
\begin{cases} x = 3,\\[4pt] y = -1,\\[4pt] z = 4. \end{cases}
  • Esses valores satisfazem o sistema original (pode-se rapidamente checar substituindo nas três expressões lineares internas aos quadrados do enunciado, mas o processo de Gauss–Jordan já garantiu a consistência e unicidade da solução).
Pequena verificação mental rápida (opcional, só para ganhar confiança):
  • x+2y+z-5 = 3 + 2(-1) + 4 -5 = 3 -2 +4 -5 = 0.
  • 2x - y + 3z -19 = 6 -(-1) +12 -19 = 6 +1 +12 -19 =0.
  • 3x + y -4z +8 = 9 -1 -16 +8 =0.
    Tudo zera, como esperado.]

Resposta

x=3
y=-1
z=4

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