Questão 64. Encontre o décimo quinto termo da sequência \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}, \frac{9}{8}, \frac{13}{16}, \ldots\right).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Sequência fornecida: \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{4}, \dfrac{9}{8}, \dfrac{13}{16}, \ldots\right).
  • Pergunta: encontrar o décimo quinto termo da sequência, ou seja, t_{15}.
Informações relevantes extraídas diretamente do enunciado:
  • Primeiro termo: t_1=\dfrac{1}{2}.
  • Segundo termo: t_2=\dfrac{5}{4}.
  • Terceiro termo: t_3=\dfrac{9}{8}.
  • Quarto termo: t_4=\dfrac{13}{16}.

Passo 2

Observar o padrão dos numeradores e descobrir uma fórmula para eles.
  • Numeradores sucessivos: 1,5,9,13,\ldots.
  • Isso é uma progressão aritmética (PA): cada termo aumenta em 4 em relação ao anterior.
  • Fórmula geral de uma PA: \displaystyle a_n = a_1 + (n-1)d, onde:
    • a_n é o n-ésimo termo da PA,
    • a_1 é o primeiro termo,
    • d é a razão (diferença entre termos consecutivos),
    • n é o índice do termo.
  • Aqui a_1=1 e d=4. Substituindo: \text{numerador}_n = 1 + (n-1)\cdot 4 = 4n-3.
  • Teste rápido: para n=1 4\cdot1-3=1; para n=2 5. Ótimo, bate com os dados.

Passo 3

Observar o padrão dos denominadores e descobrir uma fórmula para eles.
  • Denominadores sucessivos: 2,4,8,16,\ldots.
  • Isso é uma sequência geométrica (potências de 2): 2^1,2^2,2^3,2^4,\ldots.
  • Fórmula geral de uma PG (sequência geométrica): \displaystyle b_n = b_1\cdot r^{\,n-1}, onde:
    • b_n é o n-ésimo termo,
    • b_1 é o primeiro termo,
    • r é a razão multiplicativa,
    • n é o índice do termo.
  • Aqui b_1=2 e r=2. Então \text{denominador}_n = 2\cdot 2^{\,n-1} = 2^{\,n}.
  • Verificação: para n=1 2^1=2; para n=4 2^4=16. Confere.

Passo 4

Formar a expressão geral do n-ésimo termo combinando numerador e denominador.
  • Como cada termo da sequência é numerador sobre denominador, t_n = \frac{\text{numerador}_n}{\text{denominador}_n} = \frac{4n-3}{2^{\,n}}.
  • Explicação: 4n-3 dá o padrão aritmético que vimos; 2^{\,n} dá a potência de 2 que aparece no denominador. Essa expressão gera corretamente os termos conhecidos:
    • t_1=\dfrac{4\cdot1-3}{2^1}=\dfrac{1}{2},
    • t_2=\dfrac{4\cdot2-3}{2^2}=\dfrac{5}{4}, etc.

Passo 5

Calcular o décimo quinto termo substituindo n=15 em t_n=\dfrac{4n-3}{2^{\,n}}.
  • Primeiro, o numerador: 4\cdot15-3 = 60-3 = 57.
  • Depois, o denominador: 2^{15} = 2^{10}\cdot 2^{5} = 1024\cdot32 = 32768.(Explicação curta: 2^{10}=1024 é um valor padrão; multiplicando por 2^5=32 obtém-se 2^{15}.)
  • Portanto: t_{15}=\frac{57}{32768}.
  • Como 32768 é potência de 2 e 57 é ímpar, a fração já está na forma irredutível.

Resposta

\dfrac{57}{32768}

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