Questão 6\left(1,0\right. ponto). Determine una equação da hipérbole de vértices A_{1}(0,-2) e A_{2}(4 .-2). sabendo que F(5,-2) é um de seus focos.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujo vértices são A_{1}(0,-2) e A_{2}(4,-2) e em que um dos focos é F(5,-2). Para resolver vamos usar as propriedades da hipérbole centrada em (h,k) com eixo transverso horizontal, em que
\text{vértices: }(h\pm a,k),\quad\text{focos: }(h\pm c,k),\quad c^{2}=a^{2}+b^{2},é
e cuja equação é
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 2

Primeiro encontramos o centro (h,k) como o ponto médio dos vértices A_{1} e A_{2}.
h=\frac{0+4}{2}=2, \quad k=\frac{-2+(-2)}{2}=-2.
A seguir, a distância do centro a cada vértice é
a=\sqrt{(2-0)^{2}+(-2+2)^{2}}=\sqrt{4}=2.

Passo 3

O foco dado é F(5,-2). A distância do centro (2,-2) a esse foco é
c=\sqrt{(5-2)^{2}+(-2+2)^{2}}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Usamos a relação característica da hipérbole
c^{2}=a^{2}+b^{2}
para achar b^{2}:
b^{2}=c^{2}-a^{2}=9-4=5.

Passo 5

Substituindo h=2, k=-2, a^{2}=4 e b^{2}=5 na forma padrão, obtemos
\frac{(x-2)^{2}}{4}-\frac{(y+2)^{2}}{5}=1.

Resposta

\frac{(x-2)^{2}}{4}-\frac{(y+2)^{2}}{5}=1.

Exercícios relacionados