Questão 4 (1,0 ponto). Dada a elipse
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1
determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidede Construa o gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{(x-1)^{2}}{9}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1
e pede para encontrarmos o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e, por fim, esboçarmos o gráfico. Vamos usar a forma padrão da equação de uma elipse para extrair esses dados.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, identificamos
\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1
onde (h,k) é o centro e a\ge b. Comparando com a nossa equação, temos
h=1,\quad k=2,\quad a^{2}=16,\quad b^{2}=9.
Logo
a=4,\quad b=3,
e como a>b, o eixo maior é vertical.

Passo 3

Os vértices ficam nos extremos dos eixos:
– eixo maior (vertical):
(h,k\pm a)=(1,\,2\pm4)\;\Rightarrow\;(1,6)\text{ e }(1,-2).
– eixo menor (horizontal):
(h\pm b,k)=(1\pm3,\,2)\;\Rightarrow\;(4,2)\text{ e }(-2,2).

Passo 4

Para achar os focos calculamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=16-9=7\quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{7}.
Como o eixo maior é vertical, os focos são
(h,\,k\pm c)=\bigl(1,\,2\pm\sqrt{7}\bigr).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 5

Para construir o gráfico, marcamos:
– o centro em (1,2),
– os vértices em (1,6),(1,-2),(4,2),(-2,2),
– os focos em \bigl(1,2+\sqrt7\bigr) e \bigl(1,2-\sqrt7\bigr),
depois desenhamos uma curva suave que une esses pontos de forma elíptica, simétrica em relação aos eixos principais.

Resposta

Centro: (1,2)
Vértices: (1,6), (1,-2), (4,2), (-2,2)
Focos: \bigl(1,2+\sqrt{7}\bigr), \bigl(1,2-\sqrt{7}\bigr)
Excentricidade: e=\frac{\sqrt{7}}{4}
Gráfico: elipse centrada em (1,2) com eixo maior vertical de comprimento 8 e eixo menor horizontal de comprimento 6.

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