Questão 7 (1,0 ponto). Determinar a equação reduzida, centro, um esboco de gráfico, os vértices. focos e a excentricidade de 9 x^{2}+4 y^{2}-36 x-11=0.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a curva dada por
9x^{2} + 4y^{2} - 36x - 11 = 0
Esse é um caso de elipse, pois os coeficientes de x^{2} e y^{2} são positivos. Para chegar à forma reduzida e extrair centro, eixos, vértices, focos e excentricidade, vamos usar a técnica de completar quadrados.

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em x e em y:
9\bigl(x^{2} - 4x\bigr) + 4y^{2} - 11 = 0.
Agora completamos o quadrado em x:
x^{2} - 4x = (x-2)^{2} - 4.
Substituindo na equação:
9\bigl((x-2)^{2}-4\bigr) + 4y^{2} - 11 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 9(x-2)^{2} - 36 + 4y^{2} - 11 = 0
9(x-2)^{2} + 4y^{2} = 47.

Passo 3

Dividimos por 47 para obter a forma reduzida:
\frac{9(x-2)^{2}}{47} + \frac{4y^{2}}{47} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{47/9} + \frac{y^{2}}{47/4} = 1.
Portanto, a equação reduzida é
\frac{(x-2)^{2}}{\frac{47}{9}} \;+\; \frac{y^{2}}{\frac{47}{4}} \;=\;1.
Dessa forma, o centro da elipse é
(2,0).

Passo 4

Identificamos os semi-eixos:
a^{2} = \frac{47}{4}, \quad b^{2} = \frac{47}{9}.
Como a^{2} > b^{2}, o eixo maior é vertical.
  • Vértices (extremos do eixo maior):
(2,\,\pm \sqrt{a^{2}}) =\bigl(2,\,\pm \tfrac{\sqrt{47}}{2}\bigr).
  • Co-vértices (extremos do eixo menor):
(2\pm \sqrt{b^{2}},\,0) =\Bigl(2\pm \tfrac{\sqrt{47}}{3},\,0\Bigr).

Passo 5

Para achar os focos, calculamos
c^{2} = a^{2} - b^{2} = \frac{47}{4} - \frac{47}{9} = \frac{47\,(9-4)}{36} = \frac{235}{36},
logo
c = \frac{\sqrt{235}}{6}.
Os focos, por estarem sobre o eixo vertical, são
\Bigl(2,\,\pm \tfrac{\sqrt{235}}{6}\Bigr).
A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{\tfrac{\sqrt{235}}{6}}{\tfrac{\sqrt{47}}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.

Passo 6

Esboço do gráfico:
  • Centro em (2,0).
  • Eixo maior vertical com vértices em \bigl(2,\pm\frac{\sqrt{47}}{2}\bigr).
  • Eixo menor horizontal com co-vértices em \bigl(2\pm\frac{\sqrt{47}}{3},0\bigr).
  • Focos dentro da elipse em \bigl(2,\pm\frac{\sqrt{235}}{6}\bigr).
    Basta desenhar esses pontos e traçar um contorno oval passando pelos vértices.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(x-2)^{2}}{47/9} + \frac{y^{2}}{47/4} = 1.
Centro: (2,0).
Vértices: \bigl(2,\pm \tfrac{\sqrt{47}}{2}\bigr).
Co-vértices: \bigl(2\pm \tfrac{\sqrt{47}}{3},0\bigr).
Focos: \bigl(2,\pm \tfrac{\sqrt{235}}{6}\bigr).
Excentricidade: e = \tfrac{\sqrt{5}}{3}.
Esboço: elipse centrada em (2,0), maior alongada verticalmente passando pelos vértices.

Exercícios relacionados