Questão 7 (1,0 ponto). Determinar a equação reduzida, centro, um esboco de gráfico, os vértices. focos e a excentricidade de
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a curva dada por
Esse é um caso de elipse, pois os coeficientes de
e
são positivos. Para chegar à forma reduzida e extrair centro, eixos, vértices, focos e excentricidade, vamos usar a técnica de completar quadrados.
Passo 2
Reescrevemos agrupando termos em
e em
:
Agora completamos o quadrado em
:
Substituindo na equação:
Passo 3
Dividimos por
para obter a forma reduzida:
Portanto, a equação reduzida é
Dessa forma, o centro da elipse é
Passo 4
Identificamos os semi-eixos:
Como
, o eixo maior é vertical.
- Vértices (extremos do eixo maior):
- Co-vértices (extremos do eixo menor):
Passo 5
Para achar os focos, calculamos
logo
Os focos, por estarem sobre o eixo vertical, são
A excentricidade é
Passo 6
Esboço do gráfico:
- Centro em
. - Eixo maior vertical com vértices em
. - Eixo menor horizontal com co-vértices em
. - Focos dentro da elipse em
.
Basta desenhar esses pontos e traçar um contorno oval passando pelos vértices.
Resposta
Equação reduzida:
Centro:
.
Vértices: .
Co-vértices: .
Focos: .
Excentricidade:
Esboço: elipse centrada em , maior alongada verticalmente passando pelos vértices.
Vértices:
Co-vértices:
Focos:
Excentricidade:
Esboço: elipse centrada em