Questão 3. (1.6pt) Resolva o seguinte problema de difusão de calor: \left\{\begin{array}{l}4 u_{t}(x, t)-u_{x x}(x, t)=0 \\\ u(x, 0)=\delta(x-1)\end{array}\right.
Assinale na primeira coluna a transformada de Fourier U(k, t)=\mathcal{F}\{u(x, t)\} e na segunda a solução u(x, t).
( ) U(k, t)=e^{-i k} e^{-2 k^{2} t}
( ) u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{(x-1)^{2}}{t}}
( ) U(k, t)=\frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-k^{2} t / 4}
( ) u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{x^{2}}{t}}
( ) U(k, t)=e^{-k^{2} t / 2}
( ) u(x, t)=\frac{2}{\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{x^{2}}{4 t}}
( ) U(k, t)=\frac{e^{-i k}}{2 \sqrt{\pi t}} e^{-k^{2} t / 4}
( ) u(x, t)=\frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{(x+1)^{2}}{t}}
( ) nenhuma das alternativas anteriores
( ) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

Temos o problema de calor unidimensional
\begin{cases} 4\,u_{t}(x,t)-u_{xx}(x,t)=0,\\\ u(x,0)=\delta(x-1). \end{cases}
Aqui o parâmetro de difusão efetivo é \alpha=\tfrac14. Para resolver, vamos aplicar a transformada de Fourier em x, resolver a EDO resultante em t e depois inverter a transformada para obter u(x,t).

Passo 2

Definindo
U(k,t)=\mathcal{F}\{u(x,t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)\,e^{-ikx}\,dx,
transformamos a equação em
4\,\frac{\partial U}{\partial t}(k,t)+k^{2}\,U(k,t)=0.
Isso é uma EDO linear de primeira ordem em t.

Passo 3

A EDO
4\,U_t + k^2\,U=0
tem solução
U(k,t)=U(k,0)\,e^{-\frac{k^2\,t}{4}}.
Como u(x,0)=\delta(x-1), temos
U(k,0)=\mathcal{F}\{\delta(x-1)\}=e^{-ik}.
Portanto
U(k,t)=e^{-ik}\,e^{-\frac{k^2\,t}{4}}.

Passo 4

Invertemos a transformada para obter u(x,t):
u(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ik(x-1)}\,e^{-\frac{k^2\,t}{4}}\,dk =\frac{1}{\sqrt{\pi\,t}}\exp\Bigl(-\frac{(x-1)^2}{t}\Bigr).
Esse é o núcleo de calor deslocado para x=1 com difusividade \alpha=\tfrac14.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, vemos que não há nenhuma opção de U(k,t) igual a
e^{-ik}\,e^{-\tfrac{k^2\,t}{4}},
então escolhemos “nenhuma das alternativas anteriores” para a transformada. Já a solução em x aparece como
u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{\pi\,t}}\,e^{-\frac{(x-1)^2}{t}}.

Resposta

Primeira coluna (transformada): nenhuma das alternativas anteriores
Segunda coluna (solução):
\displaystyle u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{\pi\,t}}\,e^{-\frac{(x-1)^2}{t}}

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