Questão 2. ( 0.8 pt ) Considere f(t)=t e^{-|t|}. Sobre a transformada de Fourier F(w) de f(t), é correto:
( ) F(w)=\frac{-4 i w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) F(w)=\frac{-2 i w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) F(w)=\frac{-2 w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) F(w)=\frac{1-w^{2}}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}
( ) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier
F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\,e^{-i w t}\,dt
de f(t)=t\,e^{-|t|}.
Vamos usar a propriedade de paridade de transformadas (função ímpar gera transformada proporcional a seno) e em seguida calcular uma integral do tipo
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}\sin(b t)\,dt.

Passo 2

Note que f(t)=t\,e^{-|t|} é ímpar, pois f(-t)=-t\,e^{-|t|}=-f(t). Para funções ímpares vale
F(w)=-2\,i\int_{0}^{\infty}f(t)\,\sin(wt)\,dt =-2\,i\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t}\,\sin(wt)\,dt.

Passo 3

Usamos a fórmula conhecida
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-a t}\,\sin(b t)\,dt =\frac{2\,a\,b}{\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)^{2}},
valendo aqui a=1 e b=w. Logo
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-t}\,\sin(wt)\,dt =\frac{2\cdot1\cdot w}{(1+w^{2})^{2}} =\frac{2w}{(1+w^{2})^{2}}.

Passo 4

Substituindo em
F(w)=-2\,i\;\frac{2w}{(1+w^{2})^{2}}
segue
F(w)=\frac{-4\,i\,w}{(1+w^{2})^{2}}.

Resposta

F(w)=\frac{-4\,i\,w}{\left(1+w^{2}\right)^{2}}

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