Questão 5.
(1.0pt) Obtenha os coeficientes \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} da série de Fourier da função periódica g(x)=2 \operatorname{sen}^{3}(x)+3 \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede os coeficientes \{a_n\} e \{b_n\} da série de Fourier de período 2\pi da função
g(x)=2\sin^{3}(x)+3\cos(2x).
Vamos usar a forma geral da série de Fourier em (- \pi,\pi) e as fórmulas de coeficientes.

Passo 2

A série de Fourier de uma função g(x) de período 2\pi é
g(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\Bigr]
com
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\,dx,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Calcular a_{0}:
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\bigl[2\sin^{3}(x)+3\cos(2x)\bigr]dx.
Como \sin^{3}(x) é função ímpar e \cos(2x) é par mas integra sobre um período inteiro dá zero, segue que
\int_{-\pi}^{\pi}2\sin^{3}(x)\,dx=0, \quad \int_{-\pi}^{\pi}3\cos(2x)\,dx=0,
logo a_{0}=0.

Passo 4

Para achar os demais coeficientes, escrevemos \sin^{3}(x) em termos de senos harmônicos. A identidade é
\sin^{3}(x)=\frac{3\sin(x)-\sin(3x)}{4}.
Logo
g(x)=2\sin^{3}(x)+3\cos(2x) =\frac{2}{4}\bigl(3\sin x-\sin3x\bigr)+3\cos2x =\frac{3}{2}\sin x-\frac{1}{2}\sin3x+3\cos2x.

Passo 5

Comparando com a forma
\sum_{n=1}^\infty\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr], vemos que só aparecem termos em \cos(2x), \sin(x) e \sin(3x). Portanto:
  • a_{2}=3, e a_{n}=0 para n\neq2.
  • b_{1}=\tfrac{3}{2}, b_{3}=-\tfrac{1}{2}, e b_{n}=0 para n\neq1,3.

Resposta

a_{0}=0
a_{n}=\begin{cases} 3,&n=2,\\\\ 0,&n\neq2, \end{cases}
\quad
b_{n}=\begin{cases} \frac{3}{2},&n=1,\\\\ -\frac{1}{2},&n=3,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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