Questão 2. (6pts) Encontre \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} da função
f(x, y)=y^{3} \cos \left(x^{2} y^{4}\right) .

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=y^{3}\cos\!\big(x^{2}y^{4}\big)
e pede para encontrar duas derivadas parciais de segunda ordem:
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}};
  • \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (isto é, primeiro derivar em x e depois em y).
Informações relevantes dadas:
  • A função é explícita e suave (produto de potências e cosseno de uma função polinomial), então podemos aplicar livremente regra do produto, regra da cadeia e diferenciar duas vezes sem problemas.
  • Ao derivar em x, trate y como constante; ao derivar em y, trate x como constante.

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar as ferramentas que usaremos (um mini-aula rápida e prática):
  • Regra do produto: para duas funções u(x) e v(x) vale
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Aqui usaremos a versão parcial: se u depende só de y e v depende de x e y, ao derivar em x u é tratada como constante.
  • Regra da cadeia: se g(x)=\cos\!\big(h(x)\big), então
g'(x)=-\sin\!\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Isto vale também em derivadas parciais: ao derivar \cos(x^{2}y^{4}) em x, multiplicamos por \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{4}).
  • Derivadas elementares: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, \dfrac{d}{dy}(y^{n})=n y^{n-1}.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em x, \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Trate y como constante. Escrevo f como produto
f(x,y)=\big(y^{3}\big)\cdot\cos\!\big(x^{2}y^{4}\big).
Aplicando regra do produto (com u(y)=y^{3} constante em relação a x e v(x,y)=\cos(x^{2}y^{4})):
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\big(\cos(x^{2}y^{4})\big).
Agora regra da cadeia para a derivada de \cos:
\frac{\partial}{\partial x}\!\big(\cos(x^{2}y^{4})\big)=-\sin(x^{2}y^{4})\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!(x^{2}y^{4}).
Como y é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{4})=2x\,y^{4}. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{3}\cdot\big[-\sin(x^{2}y^{4})\cdot 2x\,y^{4}\big].
Simplificando potências de y:
\frac{\partial f}{\partial x}=-2x\,y^{7}\sin\!\big(x^{2}y^{4}\big).

Passo 4

Agora vamos calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, ou seja, derivar \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a x novamente.
Temos
\frac{\partial f}{\partial x}=-2x\,y^{7}\sin\!\big(x^{2}y^{4}\big).
Aqui y^{7} é constante ao derivar em x. Para organizar, escrevo
\frac{\partial f}{\partial x}=-2y^{7}\cdot\big(x\sin(u)\big), \qquad\text{onde}\quad u:=x^{2}y^{4}.
Aplicando regra do produto à função x\sin(u) (com u dependente de x):
\frac{d}{dx}\big(x\sin(u)\big)=1\cdot\sin(u)+x\cdot\cos(u)\cdot u',
onde u'=\dfrac{du}{dx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{4})=2x\,y^{4}.

Passo 5

Continuando o cálculo de \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =-2y^{7}\Big[\sin(u)+x\cos(u)\cdot(2x\,y^{4})\Big].
Substituindo u=x^{2}y^{4} e distribuindo:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =-2y^{7}\sin\!\big(x^{2}y^{4}\big)-2y^{7}\cdot x\cdot 2x\,y^{4}\cos\!\big(x^{2}y^{4}\big).
Simplificando o segundo termo ( x\cdot 2x = 2x^{2} e y^{7}\cdot y^{4}=y^{11}):
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =-2y^{7}\sin\!\big(x^{2}y^{4}\big)-4x^{2}y^{11}\cos\!\big(x^{2}y^{4}\big).

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}. Isso significa derivar \dfrac{\partial f}{\partial x} em relação a y.
Relembrando \dfrac{\partial f}{\partial x}=-2x\,y^{7}\sin(x^{2}y^{4}).
Ao derivar em y, o fator -2x é constante (pois x é tratado como constante agora). Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} =-2x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\big(y^{7}\sin(u)\big), \qquad u:=x^{2}y^{4}.
Aplicamos regra do produto para y^{7}\sin(u):
\frac{\partial}{\partial y}\!\big(y^{7}\sin(u)\big)=7y^{6}\sin(u)+y^{7}\cos(u)\cdot u_{y},
onde u_{y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}y^{4})=x^{2}\cdot 4y^{3}=4x^{2}y^{3}.

Passo 7

Substituindo u_{y} e multiplicando por -2x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} =-2x\Big[7y^{6}\sin(u)+y^{7}\cos(u)\cdot 4x^{2}y^{3}\Big].
Substituindo u=x^{2}y^{4} e simplificando o segundo termo ( y^{7}\cdot y^{3}=y^{10}):
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} =-14x\,y^{6}\sin\!\big(x^{2}y^{4}\big)-8x^{3}y^{10}\cos\!\big(x^{2}y^{4}\big).

Passo 8

Breve comentário de tranquilização (aula curta): como f é formada por potências e função trigonométrica composta com polinômio, ela é C^{\infty} (suave) em todo (x,y). Pelo teorema de Clairaut, as derivadas mistas contínuas satisfazem \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}. O resultado que encontramos para \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} está consistente com isso.

Resposta

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-2y^{7}\sin\!\big(x^{2}y^{4}\big)-4x^{2}y^{11}\cos\!\big(x^{2}y^{4}\big)
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=-14x\,y^{6}\sin\!\big(x^{2}y^{4}\big)-8x^{3}y^{10}\cos\!\big(x^{2}y^{4}\big)

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