Questão 2. (6pts) Encontre
e
da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar duas derivadas parciais de segunda ordem:
-
; -
(isto é, primeiro derivar em e depois em ).
Informações relevantes dadas:
- A função é explícita e suave (produto de potências e cosseno de uma função polinomial), então podemos aplicar livremente regra do produto, regra da cadeia e diferenciar duas vezes sem problemas.
- Ao derivar em
, trate como constante; ao derivar em , trate como constante.
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar as ferramentas que usaremos (um mini-aula rápida e prática):
- Regra do produto: para duas funções
e vale
Aqui usaremos a versão parcial: se
depende só de
e
depende de
e
, ao derivar em
é tratada como constante.
- Regra da cadeia: se
, então
Isto vale também em derivadas parciais: ao derivar
em
, multiplicamos por
.
- Derivadas elementares:
, .
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em
,
.
Trate
como constante. Escrevo
como produto
Aplicando regra do produto (com
constante em relação a
e
):
Agora regra da cadeia para a derivada de
:
Como
é constante,
. Logo
Simplificando potências de
:
Passo 4
Agora vamos calcular
, ou seja, derivar
em relação a
novamente.
Temos
Aqui
é constante ao derivar em
. Para organizar, escrevo
Aplicando regra do produto à função
(com
dependente de
):
onde
.
Passo 5
Continuando o cálculo de
:
Substituindo
e distribuindo:
Simplificando o segundo termo (
e
):
Passo 6
Agora calculamos
. Isso significa derivar
em relação a
.
Relembrando
.
Ao derivar em , o fator
é constante (pois
é tratado como constante agora). Assim
Ao derivar em
Aplicamos regra do produto para
:
onde
.
Passo 7
Substituindo
e multiplicando por
:
Substituindo
e simplificando o segundo termo (
):
Passo 8
Breve comentário de tranquilização (aula curta): como
é formada por potências e função trigonométrica composta com polinômio, ela é
(suave) em todo
. Pelo teorema de Clairaut, as derivadas mistas contínuas satisfazem
. O resultado que encontramos para
está consistente com isso.