Questão 72. Um bem, cujo preço à vista é \mathrm{R} \ 120,00 , é vendido em 6 prestações mensais iguais, antecipadas (isto é, a primeira sendo paga no ato da compra). Se os juros são deéçõéã10 %$ a.m, determine o valor das prestações.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Preço à vista do bem: \mathrm{R}\$\,120,00. Vou chamar esse valor de PV, isto é, \;PV=120.
  • O bem é vendido em 6 prestações mensais iguais, antecipadas (a primeira é paga no ato da compra).
  • Taxa de juros: 10\% ao mês, isto é, \;i=0,10.
  • Pergunta: determinar o valor de cada prestação (valor nominal de cada parcela), que vou chamar de R.
Informações relevantes extraídas do enunciado: são n=6 pagamentos, o primeiro em t=0 (início), portanto temos uma anuidade com pagamentos no início dos períodos (anuidade antecipada, ou “annuity due”).

Passo 2

Estratégia (apenas a ideia, sem cálculos): igualar o valor à vista PV com o valor presente das 6 prestações. Cada prestação R paga no início de cada mês terá seu valor presente descontado pela taxa i. Como a primeira prestação ocorre em t=0, ela não é descontada; as seguintes são descontadas por 1/(1+i), 1/(1+i)^2, …, até 1/(1+i)^{5}. A soma desses descontos forma uma série geométrica que podemos somar com fórmula fechada. Em seguida isolamos R.

Passo 3

Montando a equação do valor presente da anuidade antecipada: a soma das prestações descontadas é
PV = R\sum_{k=0}^{5} (1+i)^{-k}.
A soma da série geométrica \sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^{-k} tem a forma conhecida
\sum_{k=0}^{n-1} (1+i)^{-k} = \frac{1 - (1+i)^{-n}}{1 - (1+i)^{-1}}.
Simplificando o denominador 1-(1+i)^{-1} = \dfrac{i}{1+i}, obtemos a forma prática para anuidade antecipada:
PV = R\cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}\cdot(1+i).
Substituindo PV=120, i=0,10 e n=6:
120 = R\cdot \frac{1 - (1+0,10)^{-6}}{0,10}\cdot(1+0,10).

Passo 4

Agora calculamos passo a passo os termos numéricos. Primeiro calculemos (1+0,10)^6=(1,10)^6:
(1,10)^2 = 1,21,
(1,10)^3 = 1,21\times1,10 = 1,331,
(1,10)^4 = 1,331\times1,10 = 1,4641,
(1,10)^5 = 1,4641\times1,10 = 1,61051,
(1,10)^6 = 1,61051\times1,10 = 1,771561.
Logo (1+0,10)^{-6} = (1,10)^{-6} = \dfrac{1}{1,771561}. Calculando a recíproca (aproximação):
(1,10)^{-6} \approx 0,56447393005.
Então
1 - (1,10)^{-6} \approx 1 - 0,56447393005 = 0,43552606995.
Dividindo por i=0,10,
\frac{1 - (1,10)^{-6}}{0,10} \approx \frac{0,43552606995}{0,10} = 4,3552606995.
Multiplicando pelo fator (1+i)=1,10,
\frac{1 - (1,10)^{-6}}{0,10}\cdot(1,10) \approx 4,3552606995\times1,10 = 4,79078676945.

Passo 5

Isolando R na equação 120 = R\cdot 4,79078676945, obtemos
R = \frac{120}{4,79078676945} \approx 25,047984\ldots
Arredondando para centavos (moeda brasileira), o valor da prestação fica
R \approx \mathrm{R}\$\,25,05.

Passo 6

Verificação rápida (controle): se cada prestação for \mathrm{R}\$\,25,047984\ldots, o valor presente calculado pela fórmula é
PV = R\cdot 4,79078676945 \approx 25,047984\times4,79078676945 \approx 120,
o que confirma que o cálculo está consistente. Fica a dica para a prova: memorize a fórmula da anuidade antecipada ou saiba derivá-la pela série geométrica — isso salva tempo e evita erro de fator temporal (início vs fim do período).

Resposta

\mathrm{R}\$\,25,05

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