Questão 72. Um bem, cujo preço à vista é
120,00
10 %$ a.m, determine o valor das prestações.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Preço à vista do bem:
. Vou chamar esse valor de , isto é, . - O bem é vendido em
prestações mensais iguais, antecipadas (a primeira é paga no ato da compra). - Taxa de juros:
ao mês, isto é, . - Pergunta: determinar o valor de cada prestação (valor nominal de cada parcela), que vou chamar de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: são
pagamentos, o primeiro em
(início), portanto temos uma anuidade com pagamentos no início dos períodos (anuidade antecipada, ou “annuity due”).
Passo 2
Estratégia (apenas a ideia, sem cálculos): igualar o valor à vista
com o valor presente das
prestações. Cada prestação
paga no início de cada mês terá seu valor presente descontado pela taxa
. Como a primeira prestação ocorre em
, ela não é descontada; as seguintes são descontadas por
,
, …, até
. A soma desses descontos forma uma série geométrica que podemos somar com fórmula fechada. Em seguida isolamos
.
Passo 3
Montando a equação do valor presente da anuidade antecipada: a soma das prestações descontadas é
A soma da série geométrica
tem a forma conhecida
Simplificando o denominador
, obtemos a forma prática para anuidade antecipada:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Agora calculamos passo a passo os termos numéricos. Primeiro calculemos
:
Logo
. Calculando a recíproca (aproximação):
Então
Dividindo por
,
Multiplicando pelo fator
,
Passo 5
Isolando
na equação
, obtemos
Arredondando para centavos (moeda brasileira), o valor da prestação fica
Passo 6
Verificação rápida (controle): se cada prestação for
, o valor presente calculado pela fórmula é
o que confirma que o cálculo está consistente. Fica a dica para a prova: memorize a fórmula da anuidade antecipada ou saiba derivá-la pela série geométrica — isso salva tempo e evita erro de fator temporal (início vs fim do período).