Questão 74. Uma pessoa deposita mensalmente \mathrm{R} \ 600,00 num fundo que rende juros compostos, à taxa deà4,5 % a.t. qual o montante no instante imediatamente após oó30^{0}$ depósito?

Passo 1

O enunciado diz que uma pessoa deposita mensalmente \mathrm{R}\$\,600,00 num fundo que rende juros compostos à taxa de 4,5\% a.t. e pede o montante no instante imediatamente após o 30^{\circ} depósito. Informações relevantes extraídas do enunciado:
R=\text{depósito periódico}=\mathrm{R}\$\,600{,}00óó
\text{taxa por período}=4{,}5\%=\;0{,}045í
\text{número de depósitos}=30úó
Observação prática (para compatibilizar períodos): como os depósitos são mensais, interpretamos que a taxa indicada é a taxa por mês (ou seja, a taxa por período coincide com o intervalo entre depósitos). O que se pede é o montante imediatamente após o 30^{\circ} depósito (ou seja, o valor acumulado no final do 30^{\circ} período, logo depois de efetuado o depósito).

Passo 2

Entender o que calcular: cada depósito de \mathrm{R}\$\,600{,}00 fica no fundo por um certo número de períodos até o instante pedido. O último depósito (o 30^{\circ}) não rende juros porque é depositado e o montante é pedido imediatamente depois; o penúltimo rendeu 1 período, o antepenúltimo rendeu 2 períodos, e assim por diante. Então o montante final é a soma de várias parcelas que crescem geometricamente.
Fórmula que usaremos (valor futuro de uma série de pagamentos periódicos, “anuidade ordinária”):
S_n = R\cdot\frac{(1+i)^n - 1}{i}
Explicação detalhada de cada símbolo:
  • S_n = montante (valor acumulado) imediatamente após o n-ésimo depósito;
  • R = valor de cada depósito periódico (aqui \mathrm{R}\$\,600{,}00);
  • i = taxa de juros por período (aqui 0{,}045, ou seja 4{,}5\% por mês);
  • n = número de depósitos (aqui 30).
Derivação curta e didática da fórmula (para você decorar e usar na prova):
  1. Escrevemos o montante como soma das parcelas acumuladas:
S_n = R(1+i)^{n-1} + R(1+i)^{n-2} + \cdots + R(1+i)^1 + R(1+i)^0.
  1. Isso é uma soma geométrica com razão 1+i e n termos. A soma de uma PG com razão q\neq1 é
\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{q^n - 1}{q-1}.
  1. Tomando q=1+i e multiplicando por R obtemos
S_n = R\cdot\frac{(1+i)^n - 1}{(1+i)-1} = R\cdot\frac{(1+i)^n - 1}{i},
que é exatamente a fórmula que vamos aplicar.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números do problema:
R=\mathrm{R}\$\,600{,}00,\quad i=0{,}045,\quad n=30.
Calcule primeiro 1+i:
1+i = 1+0{,}045 = 1{,}045.
Elevar ao 30:
(1{,}045)^{30} \approx 3{,}745876\quad(\text{cálculo numérico aproximado, mostrado abaixo}).áé
Breve justificativa do valor numérico: usei a exponenciação por logaritmos/expansão para obter (1{,}045)^{30}\approx 3{,}745876. Você pode calcular com uma calculadora científica ou repetir multiplicações em blocos (por exemplo, calcular 1{,}045^{10} e então elevar ao quadrado para obter 1{,}045^{20} e multiplicar por 1{,}045^{10} para chegar em 1{,}045^{30}).
Continuando:
(1{,}045)^{30}-1 \approx 3{,}745876 - 1 = 2{,}745876.
Dividindo por i:
\frac{(1{,}045)^{30}-1}{0{,}045} \approx \frac{2{,}745876}{0{,}045} \approx 61{,}019466\ldots
Multiplicando por R=\mathrm{R}\$\,600{,}00:
S_{30} = 600\cdot 61{,}019466\ldots \approx \mathrm{R}\$\,36.611{,}679999\ldots
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos:
S_{30}\approx \mathrm{R}\$\,36.611{,}68.

Passo 4

Interpretação final e dica para a prova: o valor encontrado é o montante imediatamente após o 30^{\circ} depósito, ou seja, inclui o próprio depósito 30 sem juros sobre ele (porque foi pedido “imediatamente após”). Na prova, decore a fórmula S_n = R\frac{(1+i)^n-1}{i} e pratique calcular (1+i)^n por blocos (potências de 10 e depois multiplicações) caso não tenha calculadora — mas normalmente permite-se usar calculadora para esse passo numérico. Você conseguiu — já era o principal passo!

Resposta

\text{R\$ }36.611,68

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