Questão 74. Uma pessoa deposita mensalmente
600,00
4,5 %
30^{0}$ depósito?
Passo 1
O enunciado diz que uma pessoa deposita mensalmente
num fundo que rende juros compostos à taxa de
a.t. e pede o montante no instante imediatamente após o
depósito. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Observação prática (para compatibilizar períodos): como os depósitos são mensais, interpretamos que a taxa indicada é a taxa por mês (ou seja, a taxa por período coincide com o intervalo entre depósitos). O que se pede é o montante imediatamente após o
depósito (ou seja, o valor acumulado no final do
período, logo depois de efetuado o depósito).
Passo 2
Entender o que calcular: cada depósito de
fica no fundo por um certo número de períodos até o instante pedido. O último depósito (o
) não rende juros porque é depositado e o montante é pedido imediatamente depois; o penúltimo rendeu 1 período, o antepenúltimo rendeu 2 períodos, e assim por diante. Então o montante final é a soma de várias parcelas que crescem geometricamente.
Fórmula que usaremos (valor futuro de uma série de pagamentos periódicos, “anuidade ordinária”):
Explicação detalhada de cada símbolo:
-
= montante (valor acumulado) imediatamente após o -ésimo depósito; -
= valor de cada depósito periódico (aqui ); -
= taxa de juros por período (aqui , ou seja por mês); -
= número de depósitos (aqui ).
Derivação curta e didática da fórmula (para você decorar e usar na prova):
- Escrevemos o montante como soma das parcelas acumuladas:
- Isso é uma soma geométrica com razão
e termos. A soma de uma PG com razão é
- Tomando
e multiplicando por obtemos
que é exatamente a fórmula que vamos aplicar.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com os números do problema:
Calcule primeiro
:
Elevar ao
:
Breve justificativa do valor numérico: usei a exponenciação por logaritmos/expansão para obter
. Você pode calcular com uma calculadora científica ou repetir multiplicações em blocos (por exemplo, calcular
e então elevar ao quadrado para obter
e multiplicar por
para chegar em
).
Continuando:
Dividindo por
:
Multiplicando por
:
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos:
Passo 4
Interpretação final e dica para a prova: o valor encontrado é o montante imediatamente após o
depósito, ou seja, inclui o próprio depósito
sem juros sobre ele (porque foi pedido “imediatamente após”). Na prova, decore a fórmula
e pratique calcular
por blocos (potências de 10 e depois multiplicações) caso não tenha calculadora — mas normalmente permite-se usar calculadora para esse passo numérico. Você conseguiu — já era o principal passo!