Questão 74. Suponha que F(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}, onde P(s), Q(s) são polinômios, como no problema anterior, mas que Q(s) tenha uma raiz repetida \alpha_{k}=a com multiplicidade m, enquanto as demais raízes não se repetem, b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}.
a) Mostre que
d) Como aplicação calcule \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2 s+3}{(s+1)^{2}(s+2)^{2}}\right\}.
Passo 1
O enunciado dá uma função racional \,F(s)=\dfrac{P(s)}{Q(s)}, em que P,Q são polinômios. Foi dada a informação de que Q(s) tem uma raiz \,a, de multiplicidade \,m e as demais raízes são simples, b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}. O enunciado pede quatro coisas:
a) Mostrar que F(s) admite uma decomposição em frações parciais da forma
b) Mostrar uma fórmula para calcular os coeficientes A_{k} (os relacionados à raiz repetida a).
c) Mostrar a transformada inversa de Laplace \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} usando a decomposição em (a).
d) Aplicar tudo isso para calcular \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s+3}{(s+1)^{2}(s+2)^{2}}\right\}.
Informações relevantes que usaremos: o denominador fatoriza como
Q(s)=(s-a)^{m}\prod_{j=1}^{n}(s-b_j),
assumiremos que \dfrac{P}{Q} é uma fração própria (caso contrário faria divisão polinomial antes). A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Demonstração da forma da decomposição (item a).
Fatorando Q(s) como dito,
Q(s)=(s-a)^{m}\prod_{j=1}^{n}(s-b_j).
Como todos os fatores lineares aparecem (com a repetição no fator (s-a)), pela teoria de frações parciais sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}) existe uma decomposição em termos de potências de (s-a) até m e termos simples para cada raiz simples b_j. Escrevemos então a forma candidata
onde os escalares A_1,\dots,A_m,B_1,\dots,B_n são constantes a determinar.
Por que essa forma existe e é única (intuição prática): multiplique ambos os lados da igualdade pelo denominador Q(s). O lado esquerdo vira P(s) (um polinômio) e o lado direito vira uma identidade polinomial em s. Igualdades polinomiais são determinadas pelos coeficientes (ou por avaliação em pontos suficientes), de modo que as incógnitas A_k,B_j podem ser determinadas unicamente por essa igualdade. Assim a forma é válida e única (apenas cuidando do caso em que F não é própria, que tratamos com divisão polinomial previamente).
Passo 3
Cálculo explícito dos coeficientes A_k (item b). Vamos construir uma fórmula prática e justificá‑la.
O último termo é uma função analítica (regular) em s=a e tem um fator (s-a)^m, logo na expansão de Taylor de H em torno de s=a os termos até ordem m-1 vêm apenas dos A_k. Ou seja, H é uma função analítica em s=a e sua expansão em potências de (s-a) começa por
H(s)=\sum_{r=0}^{\infty} c_r (s-a)^r,
onde, comparando com a expressão acima, temos c_{k-1}=A_k para k=1,\dots,m.
Agora usamos a relação entre coeficientes de Taylor e derivadas: o coeficiente c_r da série de Taylor é dado por
Observação rápida: isso é exatamente o que se faz em cálculo de resíduos para pólos de ordem m, lembrando que A_k são as constantes que aparecem nas potências do pólo repetido.
Passo 4
Transformada inversa (item c). Primeiro lembramos e justificamos a fórmula básica usada para termos do tipo \dfrac{1}{(s-a)^p}.
Agora aplicamos isso termo a termo à decomposição do passo 2. Para os termos relativos à raiz repetida a (que aparecem como \dfrac{A_k}{(s-a)^{m-k+1}} — lembrando que em (a) o primeiro coeficiente está com (s-a)^{m} e o último com (s-a)) temos, para k=1,\dots,m, que o termo \dfrac{A_k}{(s-a)^{m-k+1}} corresponde a
Para encontrar A_1,A_2 use H_1(s)=(s+1)^2 F(s)=\dfrac{2s+3}{(s+2)^2}.
Pelo passo 3, A_1=H_1(-1) e A_2=H_1'(-1) (porque m=2, então A_1=H_1^{(0)}(-1) e A_2=H_1^{(1)}(-1)).