Questão 69. Mostre que, se
e
, então
Mostre também que
. Como aplicação, mostre que
а)
;
а)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
- Dado que
e . - Pedidos:
- Mostrar que
. - Mostrar que
(ou seja, a convolução é comutativa). - Aplicação: provar que
.
- Mostrar que
As informações relevantes que temos:
e
; supomos que
e
são funções tais que as transformadas de Laplace existem (condições de crescimento que permitem trocar integrais etc.). A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Definição e estratégia para provar a fórmula da convolução (teorema): defina a função
por convolução
Queremos calcular
e mostrar que dá
. Pela definição de Laplace,
Aqui usamos a hipótese de existência das transformadas para justificar trocar as ordens de integração (teorema de Fubini/Tonelli em caso de convergência absoluta). Agora trocamos a ordem das integrais.
Passo 3
Troca da ordem das integrais e simplificação: ao trocar a ordem, observamos que o domínio
pode ser descrito como
. Assim
Façamos a mudança de variável interna
. Quando
temos
; quando
temos
; e
. Então a integral interna fica
Substituindo de volta:
Passo 4
Conclusão lógica e inversa: como mostramos que
, aplicando
em ambos os lados obtemos
ou seja, a inversa da produto de transformadas é a convolução temporal. A unicidade da transformada de Laplace (duas funções com mesma transformada coincidem quase sempre) garante que essa é a função inversa correta.
Passo 5
Prova da comutatividade da convolução: comece com a definição
faça a mudança de variável
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Portanto
para todo
; a convolução é comutativa. (Essa troca é apenas uma mudança de variável simples, nada profundo — é por isso que a convolução “não se importa” com a ordem.)
Passo 6
Preparação para a aplicação (propiedade de derivada): vamos usar a propriedade útil das transformadas:
Explicação rápida: escreva
. Diferenciando sob o sinal de integral (justificável sob hipóteses de crescimento), obtemos
Logo a fórmula está provada e é muito útil para obter fatores de
na transformada inversa.
Passo 7
Aplicação para o item (a): calcule
.
-
Observe que
. — isso é uma fórmula básica da tabela de Laplace; aqui é constante positiva e é a função temporal. -
Use a propriedade da derivada com
. Temos
Calcule a derivada:
Portanto
- Isolando a transformada que queremos:
Aplicando a inversa,
Isso conclui a aplicação pedida.