Questão 57. Mostre que
Passo 1
O que o problema pede: calcular o valor do integral impróprio
que é o mesmo que calcular
Informações dadas e observações iniciais:
- O integral é sobre
. - A função integranda é
, que tem problema aparente em (divisão por zero) e também é uma integral imprópria por extensão ao infinito. - Precisamos tratar tanto o comportamento perto de
quanto o comportamento quando . - Não há outras informações no enunciado; devemos mostrar que esse integral converge e encontrar seu valor numérico.
Passo 2
Estratégia: vamos introduzir um parâmetro para facilitar a manipulação e depois voltar ao caso desejado. Definimos a função de parâmetro
onde
. A ideia é:
- mostrar que
é proporcional a (isso vem de uma mudança de variável), - calcular
diferenciando sob o sinal de integral (é uma técnica padrão quando se tem um parâmetro), - avaliar a integral que aparece em
(essa é a famosa integral de Dirichlet ), - recuperar
, que é o integral pedido.
Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Propriedade de escala (mudança de variável): fazemos
em
. Detalhando:
-
implica e . - Substituindo na integral temos
Agora simplificamos:
Portanto
Isso mostra que
é linear em
; em particular existe constante
tal que
e notamos que
. Outra forma equivalente que usaremos é
Passo 4
Diferenciação sob o sinal de integral: vamos calcular
de duas maneiras e igualá-las.
Primeira maneira: diferenciar diretamente por definição:
Primeira maneira: diferenciar diretamente
Para
podemos justificar a troca derivada–integral por razões de convergência uniforme com um amortecimento local (a derivada do integrando em
fixo é dominada por uma função integrável em
) — aqui confie que estamos em hipóteses clássicas que permitem o procedimento (se quiser, essa justificativa pode ser formalizada usando teoremas de troca de limite e integral). Diferenciando a função interna:
Portanto
Segunda maneira: a partir da propriedade de escala
, diferenciando em
obtemos
isto é,
é constante (independe de
). Assim, a integral
deve ser uma constante não dependente de
. Para encontrar essa constante precisamos avaliar essa integral para qualquer
; convenientemente escolhemos calcular o valor geral de
para
, porque então
.
Passo 5
Cálculo de
para
(integral de Dirichlet). Vamos usar amortecimento exponencial e depois tomar limite:
definimos, para ,
definimos, para
Para
a integral converge absolutamente e podemos trabalhar com ela sem problemas. Diferenciando em
(agora a troca é totalmente legitimada porque tudo é absolutamente convergente):
A integral do lado direito é uma integral elementar (transformada de Laplace de
):
Logo
Integramos em
desde
até
:
Mas
. A integral do lado direito é a forma conhecida que gera arco-tangente:
Portanto
Agora tomamos o limite
. Para
temos
, e
Com isso, por convergência dominada (o amortecimento é apenas um artifício que podemos retirar no limite), concluímos
Passo 6
Voltar a
. Como
e aplicando o resultado do Passo 5 com
, obtemos
Integrando em
obtemos
onde
é constante. Mas
, logo
. Portanto
Em particular, para
(que é o caso do enunciado),