Questão 79. Utilize a transformada de Laplace para resolver a seguinte EDO:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
Enunciado e dados: queremos resolver a equação diferencial ordinária
com as condições iniciais
e
. O enunciado pede explicitamente para utilizar a transformada de Laplace para encontrar
.
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e quais propriedades usaremos (aula rápida e direta).
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
Propriedades que usaremos:
- Derivadas: se
então
Expliquei: essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada aplicada a derivadas e incorporam as condições iniciais
e
.
- Multiplicação por
: para qualquer ,
isto é, multiplicar por
no tempo corresponde a diferenciar em
(com sinal negativo). Vou aplicar essa propriedade com
quando surgir
.
- Transformada de função constante:
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace a cada termo da EDO. Denotamos
.
Primeiro termo:
Como
e
, temos
Segundo termo: usamos a propriedade de multiplicação por
com
.
Primeiro calculemos (novamente
).
Agora
Primeiro calculemos
Agora
Portanto
onde
significa
.
Terceiro termo:
Lado direito:
Passo 4
Juntando todas as transformadas na equação transformada:
Agrupando os termos em
e
:
Passo 5
Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em
(variável independente
, incógnita
). Dividindo por
(onde
na região de interesse da transformada),
Aqui identifiquei
e
. Vou resolver por fator integrante.
Passo 6
Calcular o fator integrante
.
Primeiro simplifico
:
Integrando:
Então
Explicação rápida:
.
Passo 7
Multiplicamos a equação por
. A esquerda se torna derivada do produto
:
Substituindo
e
:
Agora integramos em
:
Para calcular a integral, uso substituição: seja
, então
ou
. Assim
Portanto
Passo 8
Isolando
:
Agora precisamos determinar a constante
. Observação importante sobre transformadas de Laplace: para funções razoáveis
(por exemplo de ordem exponencial),
deve tender a
quando
. O primeiro termo
quando
. O segundo termo, se
, cresce muito (porque
domina), o que não é compatível com ser transformada de Laplace de uma função de crescimento razoável. Logo a única escolha admissível é
.
Portanto
Passo 9
Invertendo a transformada de Laplace para obter
. Usamos a fórmula conhecida
Aqui
. Assim
Passo 10
Verificação rápida (boa prática): calculemos os termos na EDO para verificar.
Substituindo na equação:
OK, satisfaz a equação e as condições iniciais
.