Questão 79. Utilize a transformada de Laplace para resolver a seguinte EDO:
y^{\prime \prime}+2 t y^{\prime}-4 y=1
com as condições iniciais y(0)=0 e y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

Enunciado e dados: queremos resolver a equação diferencial ordinária
y^{\prime\prime}+2t\,y^{\prime}-4y=1
com as condições iniciais \;y(0)=0\; e \;y^{\prime}(0)=0\;. O enunciado pede explicitamente para utilizar a transformada de Laplace para encontrar y(t).

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e quais propriedades usaremos (aula rápida e direta).
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Propriedades que usaremos:
  1. Derivadas: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Expliquei: essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada aplicada a derivadas e incorporam as condições iniciais y(0) e y'(0).
  1. Multiplicação por t: para qualquer f,
\mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}F(s),
isto é, multiplicar por t no tempo corresponde a diferenciar em s (com sinal negativo). Vou aplicar essa propriedade com f(t)=y'(t) quando surgir t y'(t).
  1. Transformada de função constante:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace a cada termo da EDO. Denotamos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Primeiro termo:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Como y(0)=0 e y'(0)=0, temos
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s).
Segundo termo: usamos a propriedade de multiplicação por t com f(t)=y'(t).
Primeiro calculemos \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)=sY(s) (novamente y(0)=0).
Agora
\mathcal{L}\{t\,y'(t)\}=-\frac{d}{ds}\big(sY(s)\big).
Portanto
\mathcal{L}\{2t\,y'(t)\}=2\left(-\frac{d}{ds}(sY(s))\right)=-2\left(Y(s)+sY'(s)\right),
onde Y'(s) significa \dfrac{dY}{ds}.
Terceiro termo:
\mathcal{L}\{-4y\}=-4Y(s).
Lado direito:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 4

Juntando todas as transformadas na equação transformada:
s^{2}Y(s) \;+\; \big(-2Y(s)-2sY'(s)\big)\;-\;4Y(s)=\frac{1}{s}.
Agrupando os termos em Y e Y':
-2sY'(s) + \big(s^{2}-6\big)Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 5

Colocamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em s (variável independente s, incógnita Y(s)). Dividindo por -2s (onde s>0 na região de interesse da transformada),
Y'(s) - \frac{s^{2}-6}{2s} \,Y(s) = -\frac{1}{2s^{2}}.
Aqui identifiquei P(s)=-\dfrac{s^{2}-6}{2s} e Q(s)=-\dfrac{1}{2s^{2}}. Vou resolver por fator integrante.

Passo 6

Calcular o fator integrante \mu(s)=\exp\!\left(\int P(s)\,ds\right).
Primeiro simplifico P(s):
P(s)=-\frac{s^{2}-6}{2s}=-\frac{s}{2}+\frac{3}{s}.
Integrando:
\int P(s)\,ds=\int\left(-\frac{s}{2}+\frac{3}{s}\right)ds=-\frac{s^{2}}{4}+3\ln s.
Então
\mu(s)=\exp\!\left(-\frac{s^{2}}{4}+3\ln s\right)=s^{3} e^{-s^{2}/4}.
Explicação rápida: e^{3\ln s}=s^{3}.

Passo 7

Multiplicamos a equação por \mu(s). A esquerda se torna derivada do produto \mu(s)Y(s):
\frac{d}{ds}\big(\mu(s)Y(s)\big)=\mu(s)\,Q(s).
Substituindo \mu e Q:
\frac{d}{ds}\big(s^{3}e^{-s^{2}/4}Y(s)\big)=s^{3}e^{-s^{2}/4}\left(-\frac{1}{2s^{2}}\right)=-\frac{1}{2}s e^{-s^{2}/4}.
Agora integramos em s:
s^{3}e^{-s^{2}/4}Y(s)=\int -\frac{1}{2}s e^{-s^{2}/4}\,ds + C.
Para calcular a integral, uso substituição: seja u=-\dfrac{s^{2}}{4}, então du=-\dfrac{s}{2}ds ou s\,ds=-2\,du. Assim
\int -\frac{1}{2}s e^{-s^{2}/4}\,ds = -\frac{1}{2}\cdot(-2)\int e^{u}\,du = \int e^{u}\,du = e^{u} = e^{-s^{2}/4}.
Portanto
s^{3}e^{-s^{2}/4}Y(s)=e^{-s^{2}/4}+C.

Passo 8

Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{1}{s^{3}} + C\,\frac{e^{s^{2}/4}}{s^{3}}.
Agora precisamos determinar a constante C. Observação importante sobre transformadas de Laplace: para funções razoáveis y(t) (por exemplo de ordem exponencial), Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s) deve tender a 0 quando s\to +\infty. O primeiro termo \dfrac{1}{s^{3}}\to 0 quando s\to\infty. O segundo termo, se C\neq 0, cresce muito (porque e^{s^{2}/4} domina), o que não é compatível com ser transformada de Laplace de uma função de crescimento razoável. Logo a única escolha admissível é C=0.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{s^{3}}.

Passo 9

Invertendo a transformada de Laplace para obter y(t). Usamos a fórmula conhecida
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}.
Aqui 1/s^{3}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{s^{3}}=\dfrac{1}{2}\mathcal{L}\{t^{2}\}. Assim
y(t)=\frac{1}{2}t^{2}.

Passo 10

Verificação rápida (boa prática): calculemos os termos na EDO para verificar.
y(t)=\frac{t^{2}}{2},\qquad y'(t)=t,\qquad y''(t)=1.
Substituindo na equação:
y''+2t y'-4y = 1 + 2t\cdot t -4\cdot\frac{t^{2}}{2} = 1 + 2t^{2} -2t^{2}=1.
OK, satisfaz a equação e as condições iniciais y(0)=0,\\ y'(0)=0.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{t^{2}}{2}

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