Questāo s. (1,75 ponto). Determine a equaçâo do plano que contém as retas r:cx=-2+t y=3-2 t z=2 t e s: y=3 x-1 e z=-2 x.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém as retas
e
Para isso precisamos: a) escrever em forma paramétrica, b) extrair pontos e vetores diretores de e , c) verificar se existe plano comum (isto só ocorre se as duas retas forem coplanares).

Passo 2

Escrevendo em forma paramétrica, tomamos . Então
isto é

Passo 3

Escolhemos pontos e vetores diretores:
para r, em t=0 temos P0=(-2,3,0) e vetor diretor
v=(1,,-2,,2)
para s, em u=0 temos Q0=(0,-1,0) e vetor diretor
w=(1,,3,,-2)

Passo 4

Verificamos se as direções são paralelas: não existe lambda tal que v=lambda w, pois
(1,-2,2) não é múltiplo de (1,3,-2). Logo as retas não são paralelas.

Passo 5

Vemos se r e s se intersectam, resolvendo
(-2+t,,3-2t,,2t)=(u,,3u-1,,-2u)
Das primeiras equações vem u=t-2; da terceira, 2t=-2uRightarrow t=1; então u=-1. Mas na segunda linha obteríamos
3-2cdot1=1neq3(-1)-1=-4,
logo não se intersectam.

Passo 6

Como não são paralelas nem se intersectam, são retas reversas (skew). Duas retas reversas não definem nenhum plano em comum. Equivalente é computar o produto misto
det[ v, w,Q0-P0]neq0, confirmando a não coplanaridade.

Resposta

Não existe plano que contenha simultaneamente as retas r e s, pois elas são reversas (não coplanares).

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