Questāo s. (1,75 ponto). Determine a equaçâo do plano que contém as retas e s: y=3 x-1 e z=-2 x.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que contém as retas
e
Para isso precisamos: a) escrever em forma paramétrica, b) extrair pontos e vetores diretores de e , c) verificar se existe plano comum (isto só ocorre se as duas retas forem coplanares).
Passo 2
Escrevendo em forma paramétrica, tomamos . Então
isto é
Passo 3
Escolhemos pontos e vetores diretores:
para r, em t=0 temos P0=(-2,3,0) e vetor diretor
v=(1,,-2,,2)
para s, em u=0 temos Q0=(0,-1,0) e vetor diretor
w=(1,,3,,-2)
Passo 4
Verificamos se as direções são paralelas: não existe lambda tal que v=lambda w, pois (1,-2,2) não é múltiplo de (1,3,-2). Logo as retas não são paralelas.
Passo 5
Vemos se r e s se intersectam, resolvendo
(-2+t,,3-2t,,2t)=(u,,3u-1,,-2u)
Das primeiras equações vem u=t-2; da terceira, 2t=-2uRightarrow t=1; então u=-1. Mas na segunda linha obteríamos
3-2cdot1=1neq3(-1)-1=-4,
logo não se intersectam.
Passo 6
Como não são paralelas nem se intersectam, são retas reversas (skew). Duas retas reversas não definem nenhum plano em comum. Equivalente é computar o produto misto det[ v, w,Q0-P0]neq0, confirmando a não coplanaridade.
Resposta
Não existe plano que contenha simultaneamente as retas r e s, pois elas são reversas (não coplanares).