Questão 1) [8 pontos] Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária homogênea de quarta ordem
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
- É de ordem
(envolve até ). - Coeficientes constantes: os coeficientes dos termos
são , respectivamente. - A solução geral deverá conter
constantes arbitrárias porque a equação é de ordem .
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes (como esta) costuma-se procurar soluções da forma
, onde
é um número (complexo, em geral). Por que isso funciona? Porque derivadas de
são múltiplos de
:
,
, etc. Substituindo na equação obtemos uma equação algébrica para
(o polinômio característico). As raízes
desse polinômio determinam as soluções elementares; combinações lineares dessas soluções formam a solução geral. Se uma raiz for complexa ou tiver multiplicidade maior que
, a regra para construir as soluções é:
- Para raiz real simples
: solução . - Para raiz real de multiplicidade
: soluções . - Para par de raízes complexas conjugadas
simples: soluções e . - Para par de raízes complexas
com multiplicidade (do par): soluções e para .
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Assumindo
e substituindo na equação, cada derivada contribui um fator
. Assim obtemos o polinômio característico
Passo 4
Para resolver o polinômio, fazemos a substituição
. Isso transforma a equação em uma quadrática em
:
Vamos resolver essa quadrática. O discriminante é
portanto a quadrática tem raiz dupla. Fatorando,
logo
(com multiplicidade
como raiz de
). Voltando a
, temos
Observe que o fator original em
é
ou seja, os dois valores
e
aparecem com multiplicidade
cada um (equivalente a dizer que o fator quadrático
está ao quadrado).
Passo 5
Agora aplicamos a regra para raízes complexas conjugadas com multiplicidade. Aqui temos um par
com
e
, e a multiplicidade do par é
. Isso gera, para
e
, as soluções
Como
,
. Assim as quatro soluções linearmente independentes são
Passo 6
A solução geral é a combinação linear dessas quatro soluções, com quatro constantes arbitrárias
. Escrevendo explicitamente:
Breve verificação mental: como o polinômio característico é
, a equação se escreve como
(onde
). Aplicando
uma vez obteríamos uma combinação harmônica; aplicar de novo provoca os fatores
nas soluções associadas à multiplicidade, o que está de acordo com as soluções acima.