Questão 1) [8 pontos] Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias homogêneas:
y^{(I V)}+4 y^{\prime \prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária homogênea de quarta ordem
y^{(IV)} + 4y'' + 4y = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é homogênea (lado direito igual a zero).
  • É de ordem 4 (envolve até y^{(IV)}).
  • Coeficientes constantes: os coeficientes dos termos y^{(IV)},y'',y são 1,4,4, respectivamente.
  • A solução geral deverá conter 4 constantes arbitrárias porque a equação é de ordem 4.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática): para equações lineares com coeficientes constantes (como esta) costuma-se procurar soluções da forma y=e^{rx}, onde r é um número (complexo, em geral). Por que isso funciona? Porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}: y'=r e^{rx}, y''=r^2 e^{rx}, etc. Substituindo na equação obtemos uma equação algébrica para r (o polinômio característico). As raízes r desse polinômio determinam as soluções elementares; combinações lineares dessas soluções formam a solução geral. Se uma raiz for complexa ou tiver multiplicidade maior que 1, a regra para construir as soluções é:
  • Para raiz real simples r: solução e^{rx}.
  • Para raiz real de multiplicidade m: soluções e^{rx}, x e^{rx}, \dots, x^{m-1} e^{rx}.
  • Para par de raízes complexas conjugadas \alpha \pm i\beta simples: soluções e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x).
  • Para par de raízes complexas \alpha \pm i\beta com multiplicidade m (do par): soluções e^{\alpha x} x^{j}\cos(\beta x) e e^{\alpha x} x^{j}\sin(\beta x) para j=0,\dots,m-1.
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Assumindo y=e^{rx} e substituindo na equação, cada derivada contribui um fator r. Assim obtemos o polinômio característico
r^{4} + 4r^{2} + 4 = 0.

Passo 4

Para resolver o polinômio, fazemos a substituição s = r^{2}. Isso transforma a equação em uma quadrática em s:
s^{2} + 4s + 4 = 0.
Vamos resolver essa quadrática. O discriminante é
\Delta = 4^{2} - 4\cdot 1\cdot 4 = 16 - 16 = 0,
portanto a quadrática tem raiz dupla. Fatorando,
s^{2} + 4s + 4 = (s+2)^{2},
logo s = -2 (com multiplicidade 2 como raiz de s). Voltando a r, temos
r^{2} = -2 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i\sqrt{2}.
Observe que o fator original em r é
r^{4} + 4r^{2} + 4 = (r^{2}+2)^{2},
ou seja, os dois valores r = i\sqrt{2} e r = -i\sqrt{2} aparecem com multiplicidade 2 cada um (equivalente a dizer que o fator quadrático r^{2}+2 está ao quadrado).

Passo 5

Agora aplicamos a regra para raízes complexas conjugadas com multiplicidade. Aqui temos um par \alpha \pm i\beta com \alpha=0 e \beta=\sqrt{2}, e a multiplicidade do par é 2. Isso gera, para j=0 e j=1, as soluções
e^{\alpha x} x^{j}\cos(\beta x)\quad\text{e}\quad e^{\alpha x} x^{j}\sin(\beta x).
Como \alpha=0, e^{\alpha x}=1. Assim as quatro soluções linearmente independentes são
\cos(\sqrt{2}\,x),\qquad \sin(\sqrt{2}\,x),\qquad x\cos(\sqrt{2}\,x),\qquad x\sin(\sqrt{2}\,x).

Passo 6

A solução geral é a combinação linear dessas quatro soluções, com quatro constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}. Escrevendo explicitamente:
y(x) = C_{1}\cos(\sqrt{2}\,x) + C_{2}\sin(\sqrt{2}\,x) + C_{3}\,x\cos(\sqrt{2}\,x) + C_{4}\,x\sin(\sqrt{2}\,x).
Breve verificação mental: como o polinômio característico é (r^{2}+2)^{2}, a equação se escreve como (D^{2}+2)^{2}y=0 (onde D=\dfrac{d}{dx}). Aplicando D^{2}+2 uma vez obteríamos uma combinação harmônica; aplicar de novo provoca os fatores x nas soluções associadas à multiplicidade, o que está de acordo com as soluções acima.

Resposta

y(x) = C_{1}\cos(\sqrt{2}\,x) + C_{2}\sin(\sqrt{2}\,x) + C_{3}\,x\cos(\sqrt{2}\,x) + C_{4}\,x\sin(\sqrt{2}\,x)

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