Questão 3 Resolva a equação por séries de potencias
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que a resolvamos por séries de potências. Informações relevantes e o que se pede:
- Queremos uma solução geral
expressa via séries de potências (centro em , isto é, série de Maclaurin). - Em particular, ao desenvolver em série aparecerão duas constantes arbitrárias (uma para a parte par e outra para a parte ímpar) — precisamos encontrar a recorrência entre coeficientes e identificar as duas soluções independentes.
Passo 2
Vamos assumir uma solução em série de potências centrada em
:
Calculemos as derivadas termo a termo:
Estas expressões são obtidas aplicando a regra do termo a termo: a derivada de
é
, e a segunda derivada é
.
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação:
Reescrevemos todos os somatórios com a mesma potência
. Para o primeiro somatório faça
(ou seja
):
Agora separamos o termo
e combinamos os somatórios para
.
Para
obtemos:
Para
a condição de coeficientes de
é
Isto simplifica para
ou seja
(Observação: esta fórmula vale também para
, recuperando
.)
Passo 4
A recorrência relaciona coeficientes com dois índices de diferença, então separa coeficientes pares e ímpares. Vamos resolver para cada paridade.
Para coeficientes pares escrevemos
(com
):
Aplicando recursivamente:
Logo, para
,
Note que o produto
. Portanto
O termo de série correspondente é
Somando sobre
obtemos a soma da parte par:
Aqui usei a série de Taylor da exponencial:
com
.
Passo 5
Agora os coeficientes ímpares: coloque
(com
). A recorrência dá
Recursivamente:
Assim, para
,
onde
denota o duplo fatorial ímpar
. Usando a relação
podemos também escrever
O termo da série ímpar fica
Portanto a soma da parte ímpar é
Esta série não é tão imediatamente identificável como uma exponencial isolada, mas podemos encontrar a segunda solução por outro caminho (redução de ordem) e verificar que a série acima coincide com essa forma.
Passo 6
Observação prática e atalho útil: muitas vezes, ao encontrar uma solução por séries, é bom testar se uma função simples satisfaz a EDO. Testemos
. Calculando:
Substituindo em
dá
logo
é uma solução exata. Isso coincide com a soma da parte par obtida no passo anterior (com
ajustável).
Para obter a segunda solução independente
usamos redução de ordem. Para uma EDO de segunda ordem linear, se
é solução, outra solução pode ser escrita como
onde a EDO está na forma padrão
. No nosso caso escrevemos a equação como
Portanto
. Assim
Portanto uma segunda solução independente é
onde escolhi o limite inferior
por simplicidade (constante de integração absorvida na constante multiplicativa). Essa função, ao expandir em série de potências, produz exatamente a série ímpar encontrada no passo anterior (com
como constante multiplicativa).
Observação sobre a integral:
é proporcional à função erro
, mas não é necessário invocar isso para a solução por séries.
Passo 7
Concluímos então que a solução geral da equação é combinação linear das duas soluções independentes
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias (relacionadas aos coeficientes iniciais
e
da série).