Mostre que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{2}-a^{2}}\right\}=\frac{\operatorname{senh}(a t)}{a};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformada inversa de Laplace de \dfrac{1}{s^{2}-a^{2}} é igual a \dfrac{\operatorname{senh}(a t)}{a}. As informações relevantes que temos são:
\,s é a variável do domínio das transformadas (número complexo) e \,a é uma constante (assumimos a\neq0).
Queremos encontrar \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}-a^{2}}\right\}(t), isto é, a função de t cuja transformada de Laplace é \dfrac{1}{s^{2}-a^{2}}.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador e decompor em frações simples. Note que
s^{2}-a^{2}=(s-a)(s+a),
então procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{s^{2}-a^{2}}=\frac{A}{s-a}+\frac{B}{s+a}.
Essa é a técnica de frações parciais: representamos a função racional como soma de termos mais simples cujo inverso de Laplace conhecemos.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (s-a)(s+a) para achar A e B:
1 = A(s+a)+B(s-a).
Essa identidade em s vale para todo s, então podemos escolher valores convenientes de s ou comparar coeficientes. Usando valores convenientes:
  • Se s=a, obtemos 1 = A(2a) + B\cdot 0, logo A=\dfrac{1}{2a}.
  • Se s=-a, obtemos 1 = A\cdot 0 + B(-2a), logo B=\dfrac{-1}{2a}.
Portanto
\frac{1}{s^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{s-a}-\frac{1}{2a}\cdot\frac{1}{s+a}.

Passo 4

Agora usamos propriedades das transformadas de Laplace e pares básicos. Lembre que a transformada de Laplace da exponencial é
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\}(s)=\frac{1}{s-\alpha},
para \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(\alpha). Isso implica, pela linearidade da transformada inversa, que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-\alpha}\right\}(t)=e^{\alpha t}.
Aplicando isso aos dois termos da decomposição obtida no passo anterior, com \alpha=a e \alpha=-a, teremos as funções de t correspondentes.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}-a^{2}}\right\}(t) = \frac{1}{2a}\,e^{a t} - \frac{1}{2a}\,e^{-a t}.
Fizemos uso da linearidade: a inversa de uma soma é a soma das inversas, e constantes saem da transformada inversa.

Passo 6

Reescrevemos a combinação de exponenciais usando a definição da função seno hiperbólico. Por definição,
\operatorname{senh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Substituindo x=a t na definição e comparando com o resultado do passo anterior, obtemos
\frac{1}{2a}\,e^{a t} - \frac{1}{2a}\,e^{-a t} = \frac{1}{a}\cdot\frac{e^{a t}-e^{-a t}}{2} = \frac{\operatorname{senh}(a t)}{a}.

Passo 7

Comentário sobre regionamento (importante para a prova): a igualdade de transformadas vale para valores de s tais que as transformadas existam — normalmente requeremos \operatorname{Re}(s)>|a| para convergência das transformadas utilizadas. Isso garante que as manipulações de frações parciais correspondem de fato a transformadas de funções de t bem definidas.

Passo 8

Concluímos a demonstração juntando os resultados: a transformada inversa de \dfrac{1}{s^{2}-a^{2}} é \dfrac{\operatorname{senh}(a t)}{a}.

Resposta

\dfrac{\operatorname{senh}(a t)}{a}

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