Mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformada inversa de Laplace de
é igual a
. As informações relevantes que temos são:
é a variável do domínio das transformadas (número complexo) e
é uma constante (assumimos
).
Queremos encontrar , isto é, a função de
cuja transformada de Laplace é
.
Queremos encontrar
Passo 2
Vamos fatorar o denominador e decompor em frações simples. Note que
então procuramos constantes
e
tais que
Essa é a técnica de frações parciais: representamos a função racional como soma de termos mais simples cujo inverso de Laplace conhecemos.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para achar
e
:
Essa identidade em
vale para todo
, então podemos escolher valores convenientes de
ou comparar coeficientes. Usando valores convenientes:
- Se
, obtemos , logo . - Se
, obtemos , logo .
Portanto
Passo 4
Agora usamos propriedades das transformadas de Laplace e pares básicos. Lembre que a transformada de Laplace da exponencial é
para
. Isso implica, pela linearidade da transformada inversa, que
Aplicando isso aos dois termos da decomposição obtida no passo anterior, com
e
, teremos as funções de
correspondentes.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Fizemos uso da linearidade: a inversa de uma soma é a soma das inversas, e constantes saem da transformada inversa.
Passo 6
Reescrevemos a combinação de exponenciais usando a definição da função seno hiperbólico. Por definição,
Substituindo
na definição e comparando com o resultado do passo anterior, obtemos
Passo 7
Comentário sobre regionamento (importante para a prova): a igualdade de transformadas vale para valores de
tais que as transformadas existam — normalmente requeremos
para convergência das transformadas utilizadas. Isso garante que as manipulações de frações parciais correspondem de fato a transformadas de funções de
bem definidas.
Passo 8
Concluímos a demonstração juntando os resultados: a transformada inversa de
é
.