Nos exercícios de 2 a 5, considere os vetores
u=2 imath-jmath+2 k, v=5 imath+5 jmath-2 k e
w=3 imath+6 jmath
Verifique se os vetores são L.D. em cada item abaixo:
u, v,(1,2,3) e (2,1,4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelos vetores
u=(2,-1,2), v=(5,5,-2), (1,2,3) e (2,1,4) em R^3 é linearmente dependente. Para isso basta encontrar escalares alpha,beta,gamma,de<a, não todos nulos, tais que
alphau+betav+gamma(1,2,3)+de<a(2,1,4)=0

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
2alpha+5beta+gamma+2de<a=0, -alpha+5beta+2gamma+de<a=0, 2alpha-2beta+3gamma+4de<a=0

Passo 3

Da segunda equação isolamos alpha:
-alpha+5beta+2gamma+de<a=0 Longrightarrow alpha=5beta+2gamma+de<a

Passo 4

Substituindo alpha=5beta+2gamma+de<a nas outras duas equações obtemos
15beta+5gamma+4de<a=0, 8beta+7gamma+6de<a=0

Passo 5

Resolvendo esse sistema em beta,gamma em função de de<a encontramos, por exemplo,
beta=265,de<a, gamma=-5865,de<a, alpha=-4165,de<a
Escolhendo de<a=65 há solução não trivial
alpha=-41, beta=2, gamma=-58, de<a=65, o que mostra dependência linear.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois existe combinação não trivial que zera:
-41,u+2,v-58,(1,2,3)+65,(2,1,4)=0.

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