Questão 90: Um dragster de massa m percorre uma distância d a partir do repouso. Suponha que o motor fornece uma potência constante P durante toda a corrida e que o carro pode ser tratado como uma partícula. Determine o tempo de duração da corrida.

Passo 1

O enunciado diz que um dragster de massa m parte do repouso e, sob potência constante P, percorre uma distância d. Queremos encontrar o tempo t dessa corrida. Para isso, vamos usar a relação entre potência, energia cinética e cinemática de uma partícula.

Passo 2

Por definição, a potência mecânica é a taxa de variação da energia cinética:
P = \frac{dE}{dt}.
Como a energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v é E=\tfrac12mv^2, temos
P = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac12mv^2\Bigr) = m\,v\,\frac{dv}{dt}.

Passo 3

Isolando dt em função de dv, obtemos
dt = \frac{m\,v}{P}\,dv.
Integrando de v=0 até v=v_f, o tempo total é
t = \int_0^t dt = \frac{m}{P}\int_0^{v_f}v\,dv = \frac{m}{2P}\,v_f^2.

Passo 4

Agora relacionamos a distância percorrida com a velocidade: dx=v\,dt. Substituindo dt de antes,
dx = v\cdot\frac{m\,v}{P}\,dv = \frac{m}{P}\,v^2\,dv.
Integrando de x=0 a x=d (isto é, de v=0 a v=v_f) dá
d = \frac{m}{P}\int_0^{v_f}v^2\,dv = \frac{m}{3P}\,v_f^3.

Passo 5

Da expressão acima isolamos
v_f^3 = \frac{3P\,d}{m} \quad\Longrightarrow\quad v_f^2 = \Bigl(\tfrac{3P\,d}{m}\Bigr)^{2/3}.
Substituindo em t=\tfrac{m}{2P}v_f^2 resulta
t = \frac{m}{2P}\,\Bigl(\tfrac{3P\,d}{m}\Bigr)^{2/3} = \frac{3^{2/3}\,m^{1/3}\,d^{2/3}}{2\,P^{1/3}}.

Resposta

t = \frac{3^{2/3}}{2}\,\frac{m^{1/3}\,d^{2/3}}{P^{1/3}}.

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