Questão 66. Prove que, se
, então
Como aplicação mostre que, se
, então
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Provar a identidade geral:
, sabendo que . - Aplicar essa identidade ao caso em que
para mostrar que .
Informações dadas:
-
é a antitransformada de Laplace de , ou seja . - Queremos relacionar a antitransformada de
com . - Na aplicação temos um caso particular para
e queremos generalizar para .
Observação necessária: assumiremos
(para que a substituição de variável abaixo preserve o intervalo
e as propriedades usuais da transformada de Laplace).
Passo 2
Lembremos (ou aprendamos) a definição que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa (mas aqui tratamos a parte de integração real). A ideia do passo a passo é mostrar que a função
tem transformada
quando
. Isso dá a identidade de inversa ao inverter o raciocínio.
Passo 3
Seja
. Vamos calcular a transformada de Laplace de
:
Passo 4
Agora fazemos a substituição de variável para simplificar a integral. Definimos
. Então
e
. Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral:
Passo 5
Simplificando os fatores
que aparecem (o
do
cancela o
fora):
Repare que essa integral é exatamente a transformada de Laplace de
avaliada em
. Ou seja, usando
, obtemos
Passo 6
A relação do passo anterior mostra que a função
tem transformada
. Tomando a transformada inversa de ambos os lados, obtemos a identidade desejada:
Isso conclui a prova do enunciado principal. Comentário prático: em provas, basta fazer a substituição
na integral da transformada para ver emergir o fator
e o argumento
.
Passo 7
Agora aplicamos a identidade ao caso específico. Definimos a função
e sabemos que
Queremos
para
.
Passo 8
Relacionamos
com
. Tomemos
(já que queremos transformar o expoente
em
). Calcule
:
Com
temos
e
. Então
Passo 9
Isolando
obtemos
Aplicando a transformada inversa e usando a identidade provada no Passo 6:
Passo 10
Substituímos
e
. Então
e
. Logo
Agora escrevemos
:
Multiplicando por
obtemos
pois
.