Questão 99 (UFRJ-adaptado). Mostre que
-
é divisível por 4.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é divisível por
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Os números envolvidos são
e . - Os expoentes são
e , ambos ímpares. - O objetivo é provar divisibilidade por
, isto é, mostrar que o resto da divisão por é zero.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa "ser divisível por
" e uma ferramenta útil para isso.
Definição e ideia-chave:
Definição e ideia-chave:
- Dizer que um inteiro
é divisível por equivale a dizer que
ou seja, o resto de
na divisão por
é
.
- A linguagem que vamos usar é congruência modular: para inteiros
escrevemos quando é divisível por .
Propriedade importante (que usaremos sem complicar): se
então, para qualquer inteiro positivo
,
Isso decorre do fato de que congruência é preservada pela multiplicação (pode-se ver por indução sobre
).
Passo 3
Calcular as classes residuais de
e
módulo
.
- Para
: como é múltiplo de , temos , então
Também se preferir,
, então
. As duas formas são equivalentes porque
.
- Para
: como é múltiplo de , , então
ou seja,
.
Portanto tanto
quanto
são congruentes a
módulo
:
Passo 4
Elevar às potências ímpares, usando a propriedade do Passo 2. Como ambos são congruentes a
módulo
,
Como
e
são ímpares,
. Assim
Passo 5
Subtrair as congruências obtidas: como ambos são congruentes a
módulo
,
Isso significa exatamente que
é divisível por
.