Questão 2. (9pts) Faça o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu faça o gráfico da função
.
Informações dadas: a expressão da função é .
Pergunta explícita: desenhar (representar) o gráfico dessa função no plano cartesiano.
Informações dadas: a expressão da função é
Pergunta explícita: desenhar (representar) o gráfico dessa função no plano cartesiano.
Passo 2
Domínio e imagem (intervalos possíveis de
e de
).
- A expressão dentro da raiz é
. Por definição, para todo . - A raiz quadrada
exige argumento não negativo, portanto não há restrição extra: o domínio é . Vou escrever isso claramente:
- A raiz quadrada sempre produz valor não negativo, então a imagem (conjunto de valores de
) é
Isso já dá duas informações importantes para o esboço: o gráfico existe para todo
e fica na metade superior do plano (não há valores negativos de
).
Passo 3
Quebrar a função em dois ramos usando a definição de valor absoluto. Isto facilita desenhar:
- Para
temos , logo
- Para
temos , logo
Portanto o gráfico é composto por dois ramos que se encontram em
.
Passo 4
Lembra do gráfico básico
:
- Domínio
, imagem . - Passa por
. - É crescente e tem concavidade para baixo (curva que vai subindo mais devagar conforme
aumenta).
Vou usar esse gráfico como molde para construir os dois ramos de.
Passo 5
Interpretação por transformações (maneira prática de desenhar):
- Para
: é exatamente o gráfico de deslocado 7 unidades para a direita. Ou seja, pegue os pontos de e some à coordenada : . Esse é o ramo direito. - Para
: . Faça a mesma observação com parâmetro . Se toma os valores correspondentes a , então dá pontos . Isso mostra que o ramo esquerdo é o espelho do ramo direito em relação à reta vertical . Em forma curta:
ou seja, simetria horizontal em torno de
.
Passo 6
Calcule alguns pontos para ajudar no esboço (faça isso na prova sem calculadora: são números quadrados fáceis):
Com esses pontos já dá para visualizar o formato: duas “ramificações” curvas que se encontram em
.
Passo 7
Continuidade e derivada (o que acontece no encontro dos ramos):
- A função é contínua em todo
porque ambos os ramos são contínuos e coincidem em . - Derivadas por pedaço: para
,
para
,
Ao aproximar
de
por qualquer lado, a derivada tende a infinito em módulo:
Isto significa que no ponto
não existe derivada finita: a curva tem uma tangente vertical (um “pico” com inclinação infinita), então o encontro é pontudo (vertical) — não é uma reta em V linear, mas tem as duas “pontas” com tangentes verticais.
Passo 8
Comportamento quando
é grande:
- Para
temos (cresce indefinidamente, lentamente). - Para
temos (também cresce indefinidamente).
Logo os ramos vão subindo para cima nos extremos, porém de forma lenta (taxa raiz).
Passo 9
Como desenhar passo a passo na prova (sugestão prática):
- Marque o ponto central
. - Marque os pontos do passo 6:
à direita e à esquerda. - Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos para a direita, imitando
(crescente, concavidade para baixo). - Desenhe o ramo esquerdo como espelho horizontal do direito em relação a
. - Indique a linha de simetria
se quiser destacar a simetria. Rotule os eixos e marque que a curva fica inteira em .
Resposta
O gráfico tem dois ramos simétricos em relação à reta vertical
: para
a curva é
(ramo direito); para
a curva é
(ramo esquerdo). Domínio
, imagem
, ponto de encontro
; pontos úteis:
.