Questão 2. (9pts) Faça o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=\sqrt{|x-7|}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça o gráfico da função \displaystyle f(x)=\sqrt{|x-7|}.
Informações dadas: a expressão da função é \displaystyle f(x)=\sqrt{|x-7|}.
Pergunta explícita: desenhar (representar) o gráfico dessa função no plano cartesiano.

Passo 2

Domínio e imagem (intervalos possíveis de x e de y).
  • A expressão dentro da raiz é |x-7|. Por definição, |x-7|\ge0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • A raiz quadrada \sqrt{\cdot} exige argumento não negativo, portanto não há restrição extra: o domínio é \mathbb{R}. Vou escrever isso claramente:
\text{Domínio}=\{x\in\mathbb{R}\}.í
  • A raiz quadrada sempre produz valor não negativo, então a imagem (conjunto de valores de y) é
\text{Imagem}=[0,\infty).
Isso já dá duas informações importantes para o esboço: o gráfico existe para todo x e fica na metade superior do plano (não há valores negativos de y).

Passo 3

Quebrar a função em dois ramos usando a definição de valor absoluto. Isto facilita desenhar:
  • Para x\ge7 temos |x-7|=x-7, logo
f(x)=\sqrt{x-7}\quad\text{quando }x\ge7.
  • Para x<7 temos |x-7|=7-x, logo
f(x)=\sqrt{7-x}\quad\text{quando }x<7.
Portanto o gráfico é composto por dois ramos que se encontram em x=7.

Passo 4

Lembra do gráfico básico y=\sqrt{x}:
  • Domínio \{x\ge0\}, imagem [0,\infty).
  • Passa por (0,0),(1,1),(4,2),(9,3).
  • É crescente e tem concavidade para baixo (curva que vai subindo mais devagar conforme x aumenta).
    Vou usar esse gráfico como molde para construir os dois ramos de \displaystyle f(x).

Passo 5

Interpretação por transformações (maneira prática de desenhar):
  • Para x\ge7: f(x)=\sqrt{x-7} é exatamente o gráfico de y=\sqrt{x} deslocado 7 unidades para a direita. Ou seja, pegue os pontos (0,0),(1,1),(4,2),\dots de y=\sqrt{x} e some 7 à coordenada x: (7,0),(8,1),(11,2),\dots. Esse é o ramo direito.
  • Para x<7: f(x)=\sqrt{7-x}. Faça a mesma observação com parâmetro t=7-x\ge0. Se t toma os valores 0,1,4,9,\dots correspondentes a y, então x=7-t dá pontos (7,0),(6,1),(3,2),(-2,3),\dots. Isso mostra que o ramo esquerdo é o espelho do ramo direito em relação à reta vertical x=7. Em forma curta:
f(7+h)=\sqrt{|h|}=f(7-h),
ou seja, simetria horizontal em torno de x=7.

Passo 6

Calcule alguns pontos para ajudar no esboço (faça isso na prova sem calculadora: são números quadrados fáceis):
\begin{aligned} x=7 &\Rightarrow f(7)=\sqrt{0}=0\quad\text{ponto }(7,0),\\\ x=8 &\Rightarrow f(8)=\sqrt{1}=1\quad\text{ponto }(8,1),\\\ x=11 &\Rightarrow f(11)=\sqrt{4}=2\quad\text{ponto }(11,2),\\\ x=6 &\Rightarrow f(6)=\sqrt{1}=1\quad\text{ponto }(6,1),\\\ x=3 &\Rightarrow f(3)=\sqrt{4}=2\quad\text{ponto }(3,2),\\\ x=-2 &\Rightarrow f(-2)=\sqrt{9}=3\quad\text{ponto }(-2,3). \end{aligned}
Com esses pontos já dá para visualizar o formato: duas “ramificações” curvas que se encontram em (7,0).

Passo 7

Continuidade e derivada (o que acontece no encontro dos ramos):
  • A função é contínua em todo \mathbb{R} porque ambos os ramos são contínuos e coincidem em x=7.
  • Derivadas por pedaço: para x>7,
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-7}},
para x<7,
f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{7-x}}.
Ao aproximar x de 7 por qualquer lado, a derivada tende a infinito em módulo:
\lim_{x\to7^+}f'(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to7^-}f'(x)=-\infty.
Isto significa que no ponto (7,0) não existe derivada finita: a curva tem uma tangente vertical (um “pico” com inclinação infinita), então o encontro é pontudo (vertical) — não é uma reta em V linear, mas tem as duas “pontas” com tangentes verticais.

Passo 8

Comportamento quando |x| é grande:
  • Para x\to+\infty temos f(x)\sim\sqrt{x} (cresce indefinidamente, lentamente).
  • Para x\to-\infty temos f(x)\sim\sqrt{-x} (também cresce indefinidamente).
    Logo os ramos vão subindo para cima nos extremos, porém de forma lenta (taxa raiz).

Passo 9

Como desenhar passo a passo na prova (sugestão prática):
  1. Marque o ponto central (7,0).
  2. Marque os pontos do passo 6: (8,1),(11,2) à direita e (6,1),(3,2),(-2,3) à esquerda.
  3. Desenhe uma curva suave que passa por esses pontos para a direita, imitando y=\sqrt{x-7} (crescente, concavidade para baixo).
  4. Desenhe o ramo esquerdo como espelho horizontal do direito em relação a x=7.
  5. Indique a linha de simetria x=7 se quiser destacar a simetria. Rotule os eixos e marque que a curva fica inteira em y\ge0.

Resposta

O gráfico tem dois ramos simétricos em relação à reta vertical x=7: para x\ge7 a curva é y=\sqrt{x-7} (ramo direito); para x\le7 a curva é y=\sqrt{7-x} (ramo esquerdo). Domínio \mathbb{R}, imagem [0,\infty), ponto de encontro (7,0); pontos úteis: (8,1),(11,2),(6,1),(3,2),(-2,3).

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