Questão 4. (6pts) Determine os domínios e imagens de
e
consideramdo as funções:
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede: determinar os domínios e as imagens (conjuntos valores) de
e de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Regra geral para composição: para
temos
e o domínio de
é
Como
, não há restrição extra vindo de
; portanto o domínio de
será simplesmente
.
Agora calculemos explicitamente
. Primeiro escrevemos
:
Aplicando
sobre
:
Para estudar a imagem, faça a substituição auxiliar
(então
e
corresponde a
). Em termos de
:
Passo 3
Agora encontramos a imagem de
. Considere a função em
,
Explicando a técnica:
é uma parábola com coeficiente de
positivo (abre para cima). O vértice está em
, que é fora do intervalo
. Portanto em
a função
é crescente (ou, alternativamente, podemos ver a derivada
para
), então o mínimo em
ocorre em
.
Avalie em
:
Como
quando
, a imagem é
Uma checagem rápida: para
temos
, então
e
, confirma o mínimo.
Passo 4
Agora tratamos
. Regra geral: para
temos
e o domínio é
Como
, a restrição vem de exigir que o argumento da raiz em
seja não-negativo:
Substitua
:
Resolva a desigualdade
. Isso é equivalente a
ou seja
Portanto o domínio de
é
.
Passo 5
Calculemos a expressão e a imagem de
. Temos
Defina
. Para
no domínio obtido,
. O menor valor de
ocorre quando
é mínimo, isto é em
, dando
. Quando
,
. Portanto a função
tem imagem
Verificação: em
ou
obtemos
e então
, valor mínimo.
Resposta
Domínio de
:
Imagem de :
Domínio de :
Imagem de :
Imagem de
Domínio de
Imagem de