Questão 4. (6pts) Determine os domínios e imagens de f \circ g=f(g(x)) e g \circ f=g(f(x)) consideramdo as funções:
f(x)=x^{2}+16 \quad \text { e } \quad g(x)=4+\sqrt{x-25}

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^{2}+16
e
g(x)=4+\sqrt{x-25}
e pede: determinar os domínios e as imagens (conjuntos valores) de f\circ g e de g\circ f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{dom}(f)=\mathbb{R}\quad(\text{pois }x^{2}+16\text{ está definido para todo }x)á
\text{dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x-25\ge 0\}=[25,\infty)\quad(\text{pois há uma raiz quadrada})á
\text{e, como }\sqrt{\cdot}\ge 0,\\ \text{o valor mínimo de }g(x)\text{ é }4,\text{ logo }g(x)\ge 4.íé

Passo 2

Regra geral para composição: para f\circ g temos
(f\circ g)(x)=f(g(x))
e o domínio de f\circ g é
\{x\in\text{dom}(g)\mid g(x)\in\text{dom}(f)\}.
Como \text{dom}(f)=\mathbb{R}, não há restrição extra vindo de f; portanto o domínio de f\circ g será simplesmente \text{dom}(g)=[25,\infty).
Agora calculemos explicitamente f(g(x)). Primeiro escrevemos g(x):
g(x)=4+\sqrt{x-25}.
Aplicando f sobre g(x):
(f\circ g)(x)=\bigl(4+\sqrt{x-25}\bigr)^{2}+16.
Para estudar a imagem, faça a substituição auxiliar \,t=\sqrt{x-25}\, (então t\ge 0 e x\ge25 corresponde a t\in[0,\infty)). Em termos de t:
(f\circ g)(x)= (4+t)^{2}+16 = t^{2}+8t+32.

Passo 3

Agora encontramos a imagem de f\circ g. Considere a função em t,
h(t)=t^{2}+8t+32,\quad t\in[0,\infty).
Explicando a técnica: h(t) é uma parábola com coeficiente de t^{2} positivo (abre para cima). O vértice está em t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{8}{2}= -4, que é fora do intervalo t\ge 0. Portanto em [0,\infty) a função h é crescente (ou, alternativamente, podemos ver a derivada h'(t)=2t+8\ge 8>0 para t\ge 0), então o mínimo em t\ge 0 ocorre em t=0.
Avalie em t=0:
h(0)=0^{2}+8\cdot 0+32=32.
Como h(t)\to\infty quando t\to\infty, a imagem é
\text{imagem}(f\circ g)=[32,\infty).
Uma checagem rápida: para x=25 temos \sqrt{25-25}=0, então g(25)=4 e f(g(25))=4^{2}+16=32, confirma o mínimo.

Passo 4

Agora tratamos g\circ f. Regra geral: para g\circ f temos
(g\circ f)(x)=g(f(x))
e o domínio é
\{x\in\text{dom}(f)\mid f(x)\in\text{dom}(g)\}.
Como \text{dom}(f)=\mathbb{R}, a restrição vem de exigir que o argumento da raiz em g seja não-negativo:
f(x)-25\ge 0.
Substitua f(x)=x^{2}+16:
x^{2}+16-25\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-9\ge 0.
Resolva a desigualdade x^{2}-9\ge 0. Isso é equivalente a
x^{2}\ge 9 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge 3,
ou seja
x\in(-\infty,-3]\cup[3,\infty).
Portanto o domínio de g\circ f é (-\infty,-3]\cup[3,\infty).

Passo 5

Calculemos a expressão e a imagem de g\circ f. Temos
(g\circ f)(x)=4+\sqrt{f(x)-25}=4+\sqrt{x^{2}+16-25}=4+\sqrt{x^{2}-9}.
Defina u=\sqrt{x^{2}-9}. Para x no domínio obtido, u\ge 0. O menor valor de u ocorre quando |x| é mínimo, isto é em |x|=3, dando u=0. Quando |x|\to\infty, u\to\infty. Portanto a função
4+u,\quad u\in[0,\infty)
tem imagem
[4,\infty).
Verificação: em x=3 ou x=-3 obtemos \sqrt{9-9}=0 e então (g\circ f)(\pm 3)=4, valor mínimo.

Resposta

Domínio de f\circ g: [25,\infty)
Imagem de f\circ g: [32,\infty)
Domínio de g\circ f: (-\infty,-3]\cup[3,\infty)
Imagem de g\circ f: [4,\infty)

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