Questão 2. (9pts) Faça o gráfico de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico da função dada. A função fornecida é
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
A tarefa é desenhar o gráfico (parábola) dessa função, isto é, identificar os pontos-chave (vértice, interceptos, eixo de simetria, concavidade), e usar esses pontos para esboçar a parábola.
Passo 2
Identificar o tipo de função e os coeficientes ajuda a entender o formato do gráfico. Escrevendo em forma padrão
temos:
logo os coeficientes são
,
e
.
O sinal de diz a concavidade:
O sinal de
- Como
, a parábola é côncava para baixo (abre-se para baixo) — tem um máximo, não um mínimo.
Passo 3
Calcular o eixo de simetria e a abscissa do vértice usando a fórmula do vértice:
Substituindo
e
:
Portanto o eixo de simetria é a reta
. Isso já nos dá a abscissa do vértice.
Passo 4
Calcular a ordenada do vértice avaliando
em
:
Logo o vértice é o ponto
. Como
, esse ponto é o ponto máximo da parábola.
Passo 5
Escrever a função na forma de vértice (completando o quadrado) para confirmar e facilitar o desenho. Partimos de
Fatoramos o sinal de
nos termos quadrático e linear:
Completamos o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo:
Assim a forma de vértice é
o que confirma o vértice
.
Passo 6
Encontrar os interceptos com os eixos (raízes e intercepto em
).
Para o intercepto em
(quando
):
Então o ponto de interseção com o eixo
é
.
Para as raízes (interceptos em
) resolvemos
:
Calculamos o discriminante:
. Como
, as raízes são
Portanto
Podemos também escrever a fatoração:
Logo os interceptos em
são
e
.
Passo 7
Verificar simetria e pontos auxiliares para desenhar a curva com precisão sem calculadora.
- O eixo de simetria
está exatamente no ponto médio entre as raízes e : , coerente com o vértice. - Como o ponto
está a uma unidade à direita do eixo , existe um ponto simétrico à esquerda do eixo com o mesmo valor: calcule (confirmação). - Alguns pontos úteis para traçar: vértice
, interceptos e , pontos simétricos e . Podemos também avaliar para ter mais referência.
Passo 8
Resumo de como desenhar a parábola passo a passo (o que você faria com papel e lápis):
- Marque o eixo de simetria vertical
. - Marque o vértice
— é o ponto mais alto. - Marque os interceptos em
: e . - Marque o intercepto em
: e o ponto simétrico . - Ligue suavemente esses pontos formando uma curva em “U” invertido (abertura para baixo), passando pelo vértice e atravessando os interceptos.
- Garanta que a curva seja simétrica em relação a
.
Resposta
vértice:
eixo de simetria:
raízes:
intercepto em
domínio:
imagem (contradomínio efetivo / range):