Questão 2. (9pts) Faça o gráfico de cada função abaixo:
f(x)=63-2 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da função dada. A função fornecida é
f(x)=63-2x-x^{2}.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
\text{a função }f(x)=63-2x-x^{2}.çã
A tarefa é desenhar o gráfico (parábola) dessa função, isto é, identificar os pontos-chave (vértice, interceptos, eixo de simetria, concavidade), e usar esses pontos para esboçar a parábola.

Passo 2

Identificar o tipo de função e os coeficientes ajuda a entender o formato do gráfico. Escrevendo em forma padrão ax^{2}+bx+c temos:
f(x) = -x^{2}-2x+63,
logo os coeficientes são a=-1, b=-2 e c=63.
O sinal de a diz a concavidade:
  • Como a=-1<0, a parábola é côncava para baixo (abre-se para baixo) — tem um máximo, não um mínimo.

Passo 3

Calcular o eixo de simetria e a abscissa do vértice usando a fórmula do vértice:
x_{v} = -\frac{b}{2a}.
Substituindo a=-1 e b=-2:
x_{v} = -\frac{-2}{2\cdot(-1)} = -\frac{2}{-2} = -1.
Portanto o eixo de simetria é a reta x=-1. Isso já nos dá a abscissa do vértice.

Passo 4

Calcular a ordenada do vértice avaliando f em x_{v}=-1:
f(-1)=63-2(-1)-(-1)^{2}=63+2-1=64.
Logo o vértice é o ponto (-1,64). Como a<0, esse ponto é o ponto máximo da parábola.

Passo 5

Escrever a função na forma de vértice (completando o quadrado) para confirmar e facilitar o desenho. Partimos de
f(x)=-x^{2}-2x+63.
Fatoramos o sinal de -1 nos termos quadrático e linear:
f(x)=-(x^{2}+2x)+63.
Completamos o quadrado dentro do parêntese: x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1. Substituindo:
f(x)= -\big((x+1)^{2}-1\big)+63 = -(x+1)^{2}+1+63 = -(x+1)^{2}+64.
Assim a forma de vértice é
f(x)=-(x+1)^{2}+64,
o que confirma o vértice (-1,64).

Passo 6

Encontrar os interceptos com os eixos (raízes e intercepto em y).
Para o intercepto em y (quando x=0):
f(0)=63-2\cdot0-0^{2}=63.
Então o ponto de interseção com o eixo y é (0,63).
Para as raízes (interceptos em x) resolvemos f(x)=0:
-x^{2}-2x+63=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+2x-63=0.
Calculamos o discriminante: \Delta=b^{2}-4ac = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-63)=4+252=256. Como \sqrt{256}=16, as raízes são
x=\frac{-2\pm16}{2}.
Portanto
x_{1}=\frac{-2-16}{2}=-9,\qquad x_{2}=\frac{-2+16}{2}=7.
Podemos também escrever a fatoração:
f(x)=-(x+9)(x-7).
Logo os interceptos em x são (-9,0) e (7,0).

Passo 7

Verificar simetria e pontos auxiliares para desenhar a curva com precisão sem calculadora.
  • O eixo de simetria x=-1 está exatamente no ponto médio entre as raízes -9 e 7: \frac{-9+7}{2}=-1, coerente com o vértice.
  • Como o ponto (0,63) está a uma unidade à direita do eixo x=-1, existe um ponto simétrico (-2,63) à esquerda do eixo com o mesmo valor: calcule f(-2)=63-2(-2)-(-2)^{2}=63+4-4=63 (confirmação).
  • Alguns pontos úteis para traçar: vértice (-1,64), interceptos (-9,0) e (7,0), pontos simétricos (0,63) e (-2,63). Podemos também avaliar f(5)=63-10-25=28 para ter mais referência.

Passo 8

Resumo de como desenhar a parábola passo a passo (o que você faria com papel e lápis):
  1. Marque o eixo de simetria vertical x=-1.
  2. Marque o vértice (-1,64) — é o ponto mais alto.
  3. Marque os interceptos em x: (-9,0) e (7,0).
  4. Marque o intercepto em y: (0,63) e o ponto simétrico (-2,63).
  5. Ligue suavemente esses pontos formando uma curva em “U” invertido (abertura para baixo), passando pelo vértice e atravessando os interceptos.
  6. Garanta que a curva seja simétrica em relação a x=-1.

Resposta

f(x)=-(x+1)^{2}+64
vértice: (-1,64)
eixo de simetria: x=-1
raízes: x=-9 e x=7 (interceptos (-9,0) e (7,0))
intercepto em y: (0,63)
domínio: (-\infty,\,\infty)
imagem (contradomínio efetivo / range): (-\infty,\,64]

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