A questão 6 é aberta. JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUAS RESPOSTAS. Derive:
(a) f(x)=\cos (x)+\frac{1}{x^{2}}+\ln x+\pi

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\cos(x)+\frac{1}{x^{2}}+\ln x+\pi.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função contém os termos \cos(x), \dfrac{1}{x^{2}}, \ln x e a constante \pi.
  • O termo \ln x exige que x>0; portanto a função (como dada) está definida apenas para x>0. A derivada que vamos calcular vale nesse intervalo x>0.

Passo 2

Relembrando as regras básicas de diferenciação que usaremos (com explicação curta e intuitiva):
  • Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
Isto permite derivar cada termo separadamente.
  • Derivada da função cosseno: para todo x,
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\sin(x).
Intuição rápida: cosseno varia com a taxa negativa do seno.
  • Regra do poder (aplicada aqui a expoentes inteiros/negativos): para x^n com n real (no nosso caso n=-2),
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}.
Aplicando com n=-2 dá a derivada de x^{-2}.
  • Derivada do logaritmo natural: para x>0,
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.
  • Derivada de constante: para toda constante C,
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.

Passo 3

Aplicando a regra da soma, derivamos cada termo separadamente:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)+\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)+\frac{d}{dx}(\pi).

Passo 4

Calculemos cada derivada individualmente, justificando claramente:
  • Para \cos(x):
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\sin(x).
  • Para \dfrac{1}{x^{2}}: escrevemos \dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2} e usamos a regra do poder com n=-2. Assim
\frac{d}{dx}\!\left(x^{-2}\right) = -2\,x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}}.
(Explicação curta: multiplicamos pelo expoente -2 e diminuímos o expoente em uma unidade, ficando -3.)
  • Para \ln x (lembrando a condição x>0):
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.
  • Para a constante \pi:
\frac{d}{dx}(\pi)=0.

Passo 5

Agora somamos os resultados obtidos:
f'(x) = -\sin(x) +\left(-\frac{2}{x^{3}}\right)+\frac{1}{x}+0.

Passo 6

Organizando os termos de forma clara:
f'(x) = -\sin(x) - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x},\qquad \text{para } x>0.
Observação final: \cos(x) e \sin(x) são diferenciáveis para todo x, e os termos racionais e o \ln x são diferenciáveis em x>0. Portanto a expressão acima é a derivada válida no domínio da função original (isto é, x>0).

Resposta

f'(x)=-\sin(x)-\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x}

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