A questão 6 é aberta. JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUAS RESPOSTAS. Derive:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função contém os termos
, , e a constante . - O termo
exige que ; portanto a função (como dada) está definida apenas para . A derivada que vamos calcular vale nesse intervalo .
Passo 2
Relembrando as regras básicas de diferenciação que usaremos (com explicação curta e intuitiva):
- Regra da soma (linearidade): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Isto permite derivar cada termo separadamente.
- Derivada da função cosseno: para todo
,
Intuição rápida: cosseno varia com a taxa negativa do seno.
- Regra do poder (aplicada aqui a expoentes inteiros/negativos): para
com real (no nosso caso ),
Aplicando com
dá a derivada de
.
- Derivada do logaritmo natural: para
,
- Derivada de constante: para toda constante
,
Passo 3
Aplicando a regra da soma, derivamos cada termo separadamente:
Passo 4
Calculemos cada derivada individualmente, justificando claramente:
- Para
:
- Para
: escrevemos e usamos a regra do poder com . Assim
(Explicação curta: multiplicamos pelo expoente
e diminuímos o expoente em uma unidade, ficando
.)
- Para
(lembrando a condição ):
- Para a constante
:
Passo 5
Agora somamos os resultados obtidos:
Passo 6
Organizando os termos de forma clara:
Observação final:
e
são diferenciáveis para todo
, e os termos racionais e o
são diferenciáveis em
. Portanto a expressão acima é a derivada válida no domínio da função original (isto é,
).