[
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9=0 \quad, \quad y(0)=1 \quad, \quad y^{\prime}(0)=0
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9=0 \quad, \quad y(0)=1 \quad, \quad y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, onde vamos precisar montar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Para resolver, montamos a equação característica associada a
Substituindo
, obtemos
que é uma equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo
vemos que há raiz dupla
. Para raiz dupla em equações lineares homogêneas usamos a forma geral de solução
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro
dá
Em seguida, derivamos
e usamos
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos