[
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9=0 \quad, \quad y(0)=1 \quad, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial
y'' - 6y' + 9y = 0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, onde vamos precisar montar a equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para resolver, montamos a equação característica associada a
y'' - 6y' + 9y = 0
Substituindo y = e^rx, obtemos
r^2 - 6r + 9 = 0
que é uma equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 6r + 9 = (r - 3)^2 = 0
vemos que há raiz dupla r = 3. Para raiz dupla em equações lineares homogêneas usamos a forma geral de solução
y(x) = (C1 + C2 x) e^3x

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=1
y(0) = (C1 + C2,0)e^0 = C1 = 1
Em seguida, derivamos
y'(x) = igl(C2 + 3(C1 + C2 x)igr)e^3x = igl(C2 + 3C1 + 3C2 xr)e^3x 
e usamos y'(0)=0:
y'(0) = (C2 + 3C1)e^0 = C2 + 3cdot1 = 0 ,Rightarrow, C2 = -3

Passo 5

Substituindo C1=1 e C2=-3 na solução geral, obtemos
y(x) = (1 - 3x)e^3x

Resposta

y(x) = (1 - 3x)e^3x

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