Questão 5) Abra a derivada material na equação que segue e explique quais termos dominam o balanço nos seguintes casos:
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0
a) movimento convectivo no oceano sem vento;

Passo 1

O enunciado dá a equação do balanço de momento (com termo de gravidade e divergência do tensor de tensões) e pede para “abrir a derivada material” e explicar quais termos dominam no caso: movimento convectivo no oceano sem vento.
Informações fornecidas:
  • A equação a analisar é
\rho \frac{D u_{i}}{D t}-\rho g_{i}-\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{j}}=0 .
  • Deve-se “abrir” a derivada material \dfrac{D u_i}{D t}.
  • Deve-se explicar, para o caso específico pedido (movimento convectivo no oceano sem vento), quais termos dominam o balanço e por que.
O que o enunciado pede explicitamente:
  • Expandir a derivada material e reescrever a equação.
  • Usar isso para discutir, com argumentos físicos e de escala, quais termos são dominantes para o movimento convectivo no oceano sem vento.

Passo 2

Abrir (expandir) a derivada material. Lembrete: a derivada material de uma componente de velocidade u_i descreve a variação observada por uma partícula fluida que se move com o escoamento. A expressão é
\frac{D u_i}{D t} = \frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}.
Aqui:
  • \dfrac{\partial u_i}{\partial t} é a derivada temporal local (variação em um ponto fixo no espaço),
  • u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} é o termo convectivo (advecção; variação transportada pelo escoamento).
Substituindo na equação dada obtemos:
\rho\left(\frac{\partial u_i}{\partial t} + u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) - \rho g_i - \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} = 0.

Passo 3

Interpretar fisicamente cada termo da equação expandida:
  • \rho \dfrac{\partial u_i}{\partial t}: aceleração local (inércia temporal) — força por volume necessária para acelerar o fluido no tempo.
  • \rho u_j\dfrac{\partial u_i}{\partial x_j}: aceleração convectiva (inércia advectiva) — efeito não linear do transporte de momento pelo próprio escoamento.
  • -\rho g_i: força volumétrica da gravidade (peso) atuando sobre a massa do fluido. Em problemas com variação de densidade essa contribuição é a que gera buoyancy (empuxo) quando se considera \rho=\rho_0+\rho'.
  • -\dfrac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j}: divergência das tensões (forças viscosas/reativas e tensões turbulentas). Em fluidos geofísicos \tau_{ij} costuma conter a contribuição viscosa molecular (pequena quando o número de Reynolds é grande) e as tensões de Reynolds/turbulentas (importantes na mistura).
É útil comparar ordens de grandeza para ver quais termos são maiores. Para isso introduzimos escalas típicas:
  • velocidade característica do escoamento: U,
  • comprimento característico do escoamento: L,
  • densidade: \rho,
  • aceleração da gravidade: g,
  • viscosidade cinemática (molecular): \nu.
Estimativas de magnitude:
  • magnitude do termo inercial convectivo: \rho\, U\,\dfrac{U}{L} = \rho \dfrac{U^2}{L}.
  • magnitude do termo de aceleração local: \rho\, \dfrac{U}{T}. Se for um escoamento aproximadamente estacionário T\sim L/U e este termo tem a mesma ordem de \rho U^2/L.
  • magnitude do termo gravitacional absoluto: \rho g. Mas atenção física crucial: em balanços dinâmicos geralmente o termo \rho g é praticamente equilibrado pelo gradiente de pressão (que não está explícito na equação dada). O que realmente impulsiona movimento por flutuabilidade são pequenas anomalias de densidade \rho', produzindo uma força de ordem \rho' g, com |\rho'|\ll\rho.
  • magnitude da divergência de tensões viscosas moleculares: \mu \dfrac{U}{L^2} = \rho \nu \dfrac{U}{L^2} (força por volume), que comparada com inércia dá número de Reynolds Re=\dfrac{UL}{\nu}.
  • magnitude da divergência de tensões turbulentas (Reynolds stresses): aproximadamente \rho \dfrac{u'^2}{\ell}, onde u' é velocidade turbulenta característica e \ell é escala da estrutura turbulenta. Em oceanos, \rho u'^2/\ell costuma ser muito maior que a contribuição molecular quando o fluxo é turbulento.

Passo 4

Aplicar esse raciocínio ao caso peculiar pedido: “movimento convectivo no oceano sem vento”.
Primeiro, clarificação física (importante para não confundir): “sem vento” significa que não há forçamento direto na superfície por tensão de cisalhamento do vento. Ainda assim podem existir movimentos convectivos no oceano causados por variações de densidade (resfriamento superficial, salinidade, convecção profunda) ou por forçamentos interiores. Esses movimentos são tipicamente:
  • de pequena a moderada escala vertical (convecção convectiva), com velocidades U modestas (alguns mm/s até cm/s ou algumas dezenas de cm/s em casos fortes),
  • caracterizados por altos números de Reynolds (o escoamento é geralmente turbulento), de modo que as tensões turbulentas dominam sobre a viscosidade molecular na maior parte do volume.
Agora uso escalas típicas para oceanografia de convecção:
  • coloque U\sim 10^{-2}\\ \text{m/s} (1 cm/s) como ordem de grandeza razoável para convecção moderada;
  • L\sim 10\\ \text{m} como escala vertical/convectiva típica de uma célula convectiva (pode variar muito, mas serve para estimativa);
  • densidade de água \rho\sim 1000\\ \text{kg/m}^3;
  • aceleração da gravidade g\sim 10\\ \text{m/s}^2.
Estimativas numéricas rápidas:
  • termo inercial convectivo por unidade de volume:
\rho \frac{U^2}{L} \sim 1000\cdot\frac{(10^{-2})^2}{10} = 1000\cdot\frac{10^{-4}}{10} = 1000\cdot 10^{-5}=0,01\\ \text{N/m}^3.
  • termo gravitacional absoluto:
\rho g \sim 1000\cdot 10 = 10^4\\ \text{N/m}^3,
muito maior — porém, como já observei, esse termo de \rho g é normalmente equilibrado por um gradiente de pressão hidrostaticamente grande. O que realmente entra no balanço dinâmico é a força de flutuabilidade associada à anomalia de densidade \rho': \rho' g. Se \rho'/\rho\sim 10^{-3} (anelos típicos), então
\rho' g \sim 1000\cdot 10\cdot 10^{-3}=10\\ \text{N/m}^3,
o que é muito maior que o termo inercial estimado 0,01\\ \text{N/m}^3 — isto indica que, na fase inicial da convecção, a flutuabilidade pode gerar acelerações fortes. Mas essa força é convertida em movimento e rapidamente redistribuída pela turbulência.
Para as tensões:
  • viscosidade molecular dá uma contribuição desprezível (Re grande).
  • tensões turbulentas (escala) com u' da mesma ordem de U e \ell\sim L têm magnitude aproximada
\rho \frac{u'^2}{\ell} \sim 1000\cdot\frac{(10^{-2})^2}{10}=0,01\\ \text{N/m}^3,
ou seja, da mesma ordem do termo inercial convectivo estimado.
Interpretação física combinada:
  • A força gravitacional absoluta \rho g_i não age isoladamente: em oceanos ela é quase sempre equilibrada por pressão (estado quase hidrostático), então o termo que realmente importa é a flutuabilidade decorrente de anomalias de densidade \rho' g. Se houver anomalias de densidade significativas (mesmo pequenas relativas), a flutuabilidade pode ser o motor inicial da convecção.
  • Para o escoamento convectivo estabelecido (regime turbulento), a dinâmica interior tende a um balanço entre termos inerciais (principalmente o termo convectivo \rho u_j\partial u_i/\partial x_j) e divergência das tensões turbulentas -\partial \tau_{ij}/\partial x_j. Em palavras: a não linearidade advectiva transforma energia de flutuabilidade em movimento e a turbulência (Reynolds stresses) redistribui/dissipa esse momento.
  • O termo de aceleração local \rho\partial u_i/\partial t pode ser importante durante a fase de ajuste/transiente (início da convecção), mas em um estado quase-estacionário a contribuição temporal diminui e a convecção é mantida pelo balanço entre flutuabilidade, inércia advectiva e tensões turbulentas.
  • Perto de superfícies sólidas (fundos, paredes) ou em camadas-limite finas as tensões viscosas ou coerentes (camada de quebra) tornam-se importantes; porém no núcleo convectivo (interior) as tensões turbulentas dominam.

Passo 5

Resumindo, para o caso pedido (movimento convectivo no oceano sem vento), o que domina o balanço e quando:
  • Durante a geração inicial do movimento: a flutuabilidade (força gerada por anomalias de densidade) age como força motriz — representada fisicamente por uma contribuição do tipo \rho' g_i (não explicitada, mas ligada ao termo -\rho g_i quando se separa \rho=\rho_0+\rho').
  • No escoamento convectivo estabelecido e turbulento do interior oceânico: o balanço tende a ser entre o termo convectivo advectivo \rho\, u_j\partial u_i/\partial x_j e a divergência das tensões turbulentas -\partial \tau_{ij}/\partial x_j. O termo temporal \rho\partial u_i/\partial t é secundário se o fluxo for quase-estacionário. A gravidade absoluta -\rho g_i fica majoritariamente equilibrada pelo gradiente de pressão; a componente efetiva de flutuabilidade (proporcional a \rho' g) aparece quando há densidade variável e pode ser a origem da convecção.
  • Nas camadas-limite e proximidade de superfícies sólidas: as tensões (moleculares ou coerentes) podem dominar localmente.

Resposta

Para o movimento convectivo no oceano sem vento: os termos dominantes são \rho\, u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j} (convecção / inércia não linear) e -\dfrac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} (divergência das tensões turbulentas). O termo \rho\,\dfrac{\partial u_i}{\partial t} pode ser relevante em transientes, e o termo -\rho g_i é, na prática, quase sempre equilibrado pelo gradiente de pressão; a força de flutuabilidade efetiva decorre de pequenas anomalias de densidade \rho' g e é o motor inicial da convecção.

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